Система массового обслуживания с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов

Цели. Рассматривается задача построения и исследования математической модели стохастической системы с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов. Данная система формализована в виде системы массового обслуживания, построен процесс функционирования системы, найдено условие существования стационарного распределения и предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и стационарных характеристик производительности системы.

Методы. Используются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории матриц.

Результаты. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Показано, что эта цепь имеет стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, при любых приемлемых значениях параметров, описывающих входной поток, время обслуживания, процесс повторных вызовов и процесс ухода запросов из системы вследствие нетерпеливости.

Заключение. Исследован стационарный режим функционирования системы массового обслуживания с повторными вызовами, разделением процессора и двумя типами запросов, поступающих в систему в соответствии с маркированным марковским потоком. Пропускная способность канала делится между запросами двух типов в некоторой пропорции, а число запросов каждого из типов, одновременно находящихся на приборе, ограничено. Запросы одного из типов, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, с некоторой вероятностью уходят из системы необслуженными и с дополнительной вероятностью идут на орбиту бесконечного объема, откуда делают попытки попасть на обслуживание через случайные промежутки времени. Запросы второго типа, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, теряются. Запросы, находящиеся на орбите, проявляют нетерпеливость: каждый из них может покинуть орбиту навсегда по истечении экспоненциально распределенного времени при условии, что он не попадет на обслуживание за это время. Времена обслуживания запросов распределены по фазовому закону с разными параметрами. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Доказано, что при любых значениях параметров системы эта цепь имеет стационарное распределение. Предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и ряда характеристик производительности системы. Результаты исследования могут быть использованы для моделирования работы соты фиксированной емкости в беспроводной сотовой сети связи и других реальных систем, функционирующих в режиме разделения процессора.

1. Ghosh A., Banik A. D. An algorithmic analysis of the / /1 generalized processor-sharing queue. Computers and Operations Research, 2017, vol. 79, pp. 1–11.

2. Telek M., van Houdt B. Response time distribution of a class of limited processor sharing queues. Performance Evaluation Review, 2018, vol. 45, no. 3, pp. 143–155. https://doi.org/10.1145/3199524.3199548

3. Yashkov S., Yashkova A. Processor sharing: a survey of the mathematical theory. Automation and Remote Control, 2007, vol. 68, pp. 662–731.

4. Zhen Q., Knessl C. On sojourn times in the finite capacity / /1 queue with processor sharing. Operations Research Letters, 2009, vol. 37, pp. 447–450.

5. Masuyama H., Takine T. Sojourn time distribution in a / /1 processor-sharing queue. Operations Research Letters, 2003, vol. 31, pp. 406–412.

6. Dudin S., Dudin A., Dudina O., Samouylov K. Analysis of a retrial queue with limited processor sharing operating in the random environment. Lecture Notes in Computer Science, 2017, vol. 10372, pp. 38–49.

7. Dudin A., Dudin S., Dudina O., Samouylov K. Analysis of queuing model with limited processor sharing discipline and customers impatience. Operations Research Perspectives, 2018, vol. 5, pp. 245–255.

8. Klimenok V., Dudin A. A retrial queueing system with processor sharing. Communications in Computer and Information Science, 2021, vol. 1391, pp. 46–60.

9. He Q. M. Queues with marked customers. Advances in Applied Probability, 1996, vol. 28, pp. 567–587.

10. Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The Theory of Queuing Systems with Correlated Flows. Springer, 2020, 410 p.

11. Neuts M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models. Baltimore, the Johns Hopkins University Press, 1981, 352 p.

12. Graham A. Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications. Cichester, Ellis Horwood, 1981, 130 p.

13. Ramaswami V. Independent Markov processes in parallel. Communications in Statistics. Stochastic Models, 1985, vol. 1, pp. 419–432.

14. Ramaswami V., Lucantoni D. M. Algorithms for the multi-server queue with phase-type service. Communications in Statistics. Stochastic Models, 1985, vol. 1, pp. 393–417.

15. Dudina O., Kim C. S., Dudin S. Retrial queueing system with Markovian arrival flow and phase type service time distribution. Computers and Industrial Engineering, 2013, vol. 66, pp. 360–373.

16. Klimenok, V. I., Dudin A. N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory. Queueing Systems, 2006, vol. 54, pp. 245–259.