Разделение секрета в специальной линейной группе

Цели. Решается задача по разработке математических основ модулярного разделения секрета в специальной линейной группе над кольцом целых чисел.

Актуальность задачи определяется тем, что к схемам разделения секрета предъявляется большое число требований. К ним относятся идеальность схемы, возможность проведения верификации, изменения порога без участия дилера, реализации непороговой структуры доступа и некоторые другие. Каждая разработанная к настоящему времени схема разделения секрета не в полной мере удовлетворяет всем этим требованиям. Она обладает лишь определенной конфигурацией требуемых свойств. Разработка же схемы на новой математической основе призвана расширить список таких конфигураций, что создает для пользователя больше возможностей в выборе оптимального варианта.

Методы. Используется теория групп, модулярная арифметика и теория схем разделения секрета.

Результаты. Строится фундаментальная область относительно действия главной конгруэнц-подгруппы правыми сдвигами в специальной линейной группе матриц второго порядка над кольцом целых чисел. На этой основе предложены способы модулярного разделения секрета и его порогового восстановления.

Заключение. Дано строгое математическое обоснование корректности алгоритмов генерации частичных секретов и восстановления основного секрета в специальной линейной группе над кольцом целых чисел. Эти результаты будут использованы для изучения конфигурации свойств разделения секрета в данной группе.

1. Cramer, R. Multiparty Computation from Threshold Homomorphic Encryption / R. Cramer, I. Damgard, J. Nielsen // LNCS. – 2001. – Vol. 2045. – P. 280–300.

2. Bethencourt, J. Ciphertext-policy attribute-based encryption / J. Bethencourt, A. Sahai, B. Waters // Proc. of IEEE Symp. on Security and Privacy, Berkeley, CA, USA, 20–23 May 2007. – Berkeley, 2007. – P. 321–334.

3. Benaloh, J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing / J. Benaloh // LNCS. – 1987. – Vol. 263. – P. 251–260.

4. Shamir, A. How to share a secret / A. Shamir // Communications of the ACM. – 1979. – Vol. 22. – P. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176

5. Asmuth, C. A modular approach to key safeguarding / C. Asmuth, J. Bloom // IEEE Transactions on Information Theory. – 1983. – Vol. 29. – P. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651

6. Mignotte, M. How to share a secret / M. Mignotte // LNCS. – 1983. – Vol. 149. – P. 371–375.

7. Galibus, T. Some structural and security properties of the modular secret sharing / T. Galibus, G. Matveev, N. Shenets // 2008 10th Intern. Symp. on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, Romania, 26–29 Sept. 2008. – Timisoara, 2008. – P. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14

8. Galibus, T. Generalized Mignotte's Sequences Over Polynomial Rings / T. Galibus, G. Matveev // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. – 2007. – Vol. 186. – P. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044

9. Galibus, T. Finite Fields. Gröbner Bases and Modular Secret Sharing / T. Galibus, G. Matveev // J. of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography. – 2012. – Vol. 15. – P. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386

10. Васьковский, М. М. Верификация модулярного разделения секрета / М. М. Васьковский, Г. В. Матвеев // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2017. – № 2. – С. 17–22.

11. Матвеев, Г. В. Совершенная верификация модулярной схемы / Г. В. Матвеев, В. В. Матулис // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 2. – С. 4–9.

12. Di Matteo, G. The action of SL2(Z) on the upper-half complex plane / G. Di Matteo. – Mode of access: https://www.dimatteo.is/Mathematics/Courses/Modular-forms/02-SL2Z.pdf. – Date of access: 10.04.2024.

13. Платонов, В. П. Алгебраические группы и теория чисел / В. П. Платонов, А. С. Рапинчук. – M. : Наука, 1991. – 656 с.