Вариационно-разностный метод численного моделирования равновесных капиллярных поверхностей

Цели. Предлагается вариационно-разностный метод численного моделирования равновесных капиллярных поверхностей, базирующийся на минимизации энергетического функционала. В качестве тестовой рассматривается известная осесимметричная задача о равновесных формах капли, находящейся на горизонтальной вращающейся плоскости в поле силы тяжести. Математическая модель задачи строится на основании вариационного принципа: капля принимает такую форму, при которой она обладает минимумом полной энергии при заданном объеме. С помощью метода конечных элементов задача минимизации функционала сводится к системе нелинейных уравнений, решение которой ищется с помощью итерационного метода Ньютона.

Методы. Используется вариационно-разностный подход (метод конечных элементов), в котором в качестве базисных функций выбираются финитные линейные функции.

Результаты. С помощью метода конечных элементов построены равновесные формы капли на вращающейся плоскости в широком диапазоне определяющих параметров: числа Бонда, вращательного числа Вебера и угла смачивания. Определено влияние этих параметров на форму капли. Численные результаты согласуются с результатами, полученными с помощью итерационно-разностного метода во всем диапазоне физической устойчивости относительно осесимметричных возмущений.

Заключение. Метод конечных элементов реагирует на потерю устойчивости капли относительно осесимметричных возмущений, поэтому может применяться для исследования устойчивости равновесия осесимметричных капиллярных поверхностей.

1. Сокуров, А. А. Численно-аналитическое исследование математических моделей капиллярных менисков / А. А. Сокуров // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2021. – Т. 36, № 3. – С. 80–93. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-36-3-80-93

2. A finite element based algorithm for determining interfacial tension (γ) from pendant drop profiles / N. M. Dingle [et al.] // J. of Colloid and Interface Science. – 2005. – Vol. 286, no. 2. – P. 647–660. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.052

3. Dingle, N. M. A robust algorithm for the simultaneous parameter estimation of interfacial tension and contact angle from sessile drop profiles / N. M. Dingle, M. T. Harris // J. of Colloid and Interface Science. – 2005. – Vol. 286, no. 2. – P. 670–680. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.087

4. Simulation of a pending drop at a capillary tip / M. Gille [et al.] // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2015. – Vol. 26. – P. 137–151. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.02.007

5. Basaran, O. A. Axisymmetric shapes and stability of pendant and sessile drops in an electric field / O. A. Basaran, L. E. Scriven // J. of Colloid and Interface Science. – 1990. – Vol. 140, no. 1. – P. 10–30. https://doi.org/10.1016/0021-9797(90)90316-G

6. Saad, S. M. I. Total Gaussian curvature, drop shapes and the range of applicability of drop shape techniques / S. M. I. Saad, A. W. Neumann // Advances in Colloid and Interface Science. – 2014. – Vol. 204. – P. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.cis.2013.12.001

7. Shape analysis of a rotating axisymmetric drop in gravitational field: Comparison of numerical schemes for real-time data processing / K. D. Danov [et al.] // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. – 2016. – Vol. 489. – P. 75–85. https://doi.org/10.1016/j.colsurfa.2015.10.028

8. Авдейчик, Е. В. Численное исследование относительного равновесия капли с односвязной свободной поверхностью на вращающейся плоскости / Е. В. Авдейчик, П. Н. Конон // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2022. – № 3. – C. 79–90. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-3-79-90

9. Polevikov, V. K. Methods for numerical modeling of two-dimensional capillary surfaces / V. K. Polevikov // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2004. – Vol. 4, no. 1. – P. 66–93. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0005

10. Полевиков, В. К. Численное исследование равновесных форм капли, вращающейся в гравитационном поле / В. К. Полевиков, В. М. Денисенко // Вестник Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина. – 1985. – № 2. – С. 37–41.

11. Черноусько, Ф. Л. Задача о равновесии жидкости, подверженной действию сил тяжести и поверхностного натяжения / Ф. Л. Черноусько // Введение в динамику тела с жидкостью в условиях невесомости. – М. : ВЦ АН СССР, 1968. – С. 69–97.

12. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости / А. Д. Мышкис [и др.] ; под ред. А. Д. Мышкиса. – Киев : Наукова думка, 1992. – 592 с.

13. Investigation of the shape and stability of a liquid drop on a rotating substrate / P. V. Lebedev-Stepanov [et al.] // Acoustical Physics. – 2011. – Vol. 57, no. 3. – P. 320–325. https://doi.org/10.1134/S1063771011030122

14. Финн, Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория : пер. с англ. / Р. Финн. – М. : Мир, 1989. – 312 с.