Решение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в нерегулярных двумерных областях

Цели. Построение конечно-разностного вычислительного алгоритма решения смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, заданной в нерегулярных двумерных областях.
Методы. Для решения задачи используются обобщенные криволинейные координаты. Физическая область отображается в расчетную (единичный квадрат) в пространстве обобщенных координат. Исходная задача записывается в обобщенных криволинейных координатах и аппроксимируется на равномерной сетке в расчетной области. Полученные результаты отображаются на неравномерную разностную сетку, сгенерированную в физической области.
Результаты. Построены аппроксимации второго порядка смешанных краевых условий Неймана – Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве обобщенных криволинейных координат. Для повышения порядка аппроксимаций условия Неймана используется аппроксимация уравнения Пуассона на границе области.
Заключение. Для решения смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в нерегулярных двумерных областях построен вычислительный алгоритм второго порядка точности с использованием обобщенных криволинейных координат. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие второй порядок точности вычислительного алгоритма.

1. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : пер. с англ. / К. Флетчер. – М. : Мир, 1991. – 295 c.

2. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1997. – 380 с.

3. Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М. : Наука, 1976. – 352 с.

4. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.] // Математическое моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2. – С. 17–26.

5. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives / A. Samarskii [et al.] // Computers and Mathematics with Applications. – 2002. – Vol. 44. – P. 501–510. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00164-5

6. Matus, P. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives / P. Matus, I. Rybak // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2009. – Vol. 4, no. 4. – P. 494–505. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027

7. Matus, P. Monotone and economical difference schemes on nonuniform grids for multidimensional parabolic equations with boundary condition of third kind / P. Matus, G. Martsynkevich // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2004. – Vol. 4, no. 3. – P. 350–367. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0019

8. Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions / F. J. Gaspar [et al.] // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2016. – Vol. 16, no. 2. – P. 231–244. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002

9. Schneider, G. E. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem / G. E. Schneider, M. Zedan // Numerical Heat Transfer. – 1981. – Vol. 4. – P. 1–19.

10. Волков, В. М. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Журнал Бел. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 1. – С. 69 –76. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-69-7