Моделирование и нелинейный анализ хаотических волновых процессов в электрохимически активных нейроновых средах на основе матричной декомпозиции

Разработана общая модель возникновения и эволюции хаотических волновых процессов в электрохимически  активных  нейроновых  средах  на  основе  предложенного  метода  матричной  декомпозиции операторов нелинейных систем. Рассмотрены математические модели  Ходжкина –  Хаксли и ФитцХью – Нагумо электрохимически активной нейроновой среды. Определены необходимые условия самоорганизации хаотических автоколебаний в модели ФитцХью – Нагумо. Компьютерное моделирование на основе матричной декомпозиции хаотических волновых процессов в электрохимически активных нейроновых средах  показало  взаимодействие нелинейных процессов высших  порядков, приводящее к стабилизации (конечной величине) амплитуды хаотического волнового процесса. Математически это выражается  в  синхронном  «противодействии» нелинейных  процессов  четных  и  нечетных  порядков в общей векторно-матричной модели электрохимически активной нейроновой среды, находящейся в хаотическом режиме. Отмечено, что режим жесткого самовозбуждения нелинейных колебаний в электрохимически активной нейроновой среде приводит к появлению хаотического аттрактора в пространстве состояний. Вместе с тем предложенная векторно-матричная модель позволила найти более общие условия возникновения и эволюции хаотических волновых процессов по сравнению с моделью начальной турбулентности Ландау и, как следствие, объяснить возникновение согласованных нелинейных явлений в электрохимически активной нейроновой среде.

1. Иваницкий, Г. Р. Автоволновые процессы: общие закономерности биологических, химических и физических активных сред / Г. Р. Иваницкий, В. И. Кринский // I Всесоюз. биофизический съезд. Секция 20. – Пущино : НЦБИ, 1982. – 28 с.

2. Васильев, В. А. Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. – М. : Наука, 1987. – 240 с.

3. Ландау, Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау // Доклады АН СССР. – 1944. – Т. 44, № 8. –C. 339–342.

4. Крот, А. М. О классе дискретных квазистационарных линейных динамических систем / А. М. Крот // Доклады АН СССР. – 1990. – Т. 313, № 6. – С. 1376–1380.

5. Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow / E. N. Lorenz // J. of Atmospheric Sciences. – 1963. –Vol. 20, March. – P. 130–141.

6. Ruelle, D. On the nature of turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Communications in Mathematical Physics. –1971. – Vol. 20. – P. 167–192.

7. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Г. Николис, И. Пригожин. – М. : Мир, 1979. – 512 с.

8. Хакен, Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах /Г. Хакен. – М. : Мир, 1985. – 423 с.

9. Берже, П. Порядок в хаосе: о детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. – М. : Мир, 1991. – 368 c.

10. Крот, А. М. Эволюционная модель хаотических волновых процессов в сложных динамических системах на основе теории матричной декомпозиции / А. М. Крот // Доп. Нац. акад. наук Украiни. – 2019. –№ 9. – С. 12–19. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.012

11. Скотт, Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Э. Скотт. – М. : Сов. радио, 1977. – 368 с.

12. Hodgkin, A. L. A quantitative description of ion currents and its applications to conduction and excitation in nerve membranes / A. L. Hodgkin, A. F. Huxley // J. of Physiology. – 1952. – Vol. 117. – P. 500–544.

13. Fuortes, M. G. F. Interpretation of the repetitive firing of nerve cells / M. G. F. Fuortes, F. Mantegazzini // J. of General Physiology. – 1962. – Vol. 45. – P. 1163–1179.

14. Koch, C. Do neurons have a voltage or a current threshold for action potential initiation? / C. Koch, O. Bernarder, R. J. Douglas // J. of Computational Neuroscience. – 1995. – No. 2. – P. 63–82.

15. Nandapurcar, P. J. Dynamically stability of untwised scroll rings in excitable media / P. J. Nandapurcar, A. T. Winfree // Physica D. – 1989. – Vol. 35, no. 3. – P. 277–288.

16. Courtemanche, M. Stable tree-dimensional action potential calculation in the FitzHugh – Nagumo model / M. Courtemanche, W. Scaggs, A. T. Winfree // Physica D. – 1990. – Vol. 41, no. 1. – P. 173–182.

17. FitzHugh, R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane / R. FitzHugh // Biophysical J. – 1961. – Vol. 1. – P. 445–446.

18. Nagumo, J. S. An active pulse transmission line simulating nerve axon / J. S. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshisawa // Proc. of the IRE. – 1962. – Vol. 50. – P. 2061–2070.

19. Paydarfar, D. Dysrhythmias of the respiratory oscillator / D. Paydarfar, D. M. Buerkel // Chaos. – 1995. – Vol. 5, no. 1. – P. 18–29.

20. Дайлюденко, В. Ф. Моделирование процессов самоорганизации в активных средах / В. Ф. Дайлюденко, А. М. Крот // Интеллектуальные системы : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1998. – Вып. 1. – С. 32–45.

21. Krot, A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system / A. M. Krot // EUSIPCO–2000 : Proc. X European Signal Processing Conf., Tampere, Finland, 4–8 Sept. 2000. – Tampere, 2000. – Vol. 3. – P. 2453–2456.

22. Krot, A. M. Matrix decompositions of vector functions and shift operators on the trajectories of a nonlinear dynamical system / A. M. Krot // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2001. – Vol. 4, no. 2. – P. 106–115.

23. Крот, А. М. Анализ аттракторов сложных нелинейных динамических систем на основе матричных рядов в пространстве состояний / А. М. Крот // Информатика. – 2004. – № 1(1). – С. 7–16.

24. Krot, A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals / A. M. Krot // DSP–2009 : Proc. 16th IEEE Intern. Conf. on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, 5–7 July 2009. – Santorini, 2009. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123

25. Krot, A. M. Bifurcation analysis of attractors of complex systems based on matrix decomposition theory / A. M. Krot // IEM 2011 : Proc. of IEEE Intern. Conf. on Industrial Engineering and Management, Zhengzhou, China, 12–14 Aug. 2011. – Zhengzhou, 2011. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icmss.2011.5999350

26. Крот, А. М. Анализ хаотических режимов функционирования схемы Чжуа с гладкой нелинейностью на основе метода матричной декомпозиции / А. М. Крот, В. А. Сычев // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2018. – Т. 63, № 4. – С. 501–512. https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512

27. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособие для студентов физ. специальностей ун-тов : в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; под ред. Л. П. Питаевского. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1986. – Т. 6 : Гидродинамика. – 736 с.

28. Ерофеенко, В. Т. Основы математического моделирования : курс лекций / В. Т. Ерофеенко, И. С. Козловская. – Минск : БГУ, 2002. – 195 с.