informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASBinform-870Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGСтационарные характеристики ненадежной системы массового обслуживания с групповым марковским потокомStationary characteristics of unreliable queueing system with a batch Markovian arrival processКлименокВ. И.KlimenokV. I.

доктор физикоматематических наук, профессор, главный научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории прикладного вероятностного анализа

Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Chief Researcher of the Research Laboratory of Applied Probabilistic Analysis

vklimenok@yandex.ruБелорусский государственный университетBelarusian State University2019210620191636978Copyright © Клименок В.И., 20192019Клименок В.И.Klimenok V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/870

Ненадежные системы массового обслуживания представляют значительный интерес как в математическом плане, так и для приложений. В основном рассматриваются системы со стационарными пуассоновскими потоками заявок и поломок и экспоненциально распределенными временами обслуживания и ремонтов. Это обстоятельство значительно упрощает математический анализ соответствующих моделей, но редко выполняется в реальных системах, особенно в телекоммуникационных сетях. Целью исследования является анализ стационарного поведения многолинейной ненадежной системы массового обслуживания с групповым марковским потоком заявок, который учитывает корреляцию и взрывной характер реального трафика. Процессы обслуживания и ремонтов описываются фазовыми распределениями, что позволяет учесть не только средние времена обслуживания и ремонтов, но и дисперсию этих времен. В результате процесс функционирования системы представляется многомерной цепью Маркова. Условие эргодичности этой цепи задается в простом алгоритмическом виде. Предлагается алгоритм вычисления стационарного распределения. Получены формулы для ключевых характеристик производительности системы в терминах стационарного распределения цепи Маркова, описывающей динамику системы. Приведенные результаты могут использоваться для принятия экспертных решений при анализе производительности и проектировании телекоммуникационных сетей различного назначения.

Unreliable queuing systems are of considerable interest both in mathematical terms and for applications. Systems with stationary Poisson flows of customers and breakdowns and exponentially distributed service and repair times are mainly considered. This circumstance greatly simplifies the mathematical analysis of the corresponding models but rarely occurs in real systems, especially in telecommunications networks. The purpose of this study is to analyze the stationary behavior of a multi-server unreliable queueing system with a batch Markovian arrival process, which takes into account the correlation and bursty nature of real traffic. The service and repair processes are described by phase type distributions which makes it possible to take into account not only the average service and repair times but also the variance of these times. As a result of the research, the operation of the system is described by a multi-dimensional Markov chain. The condition of ergodicity of this chain is presented in a simple algorithmic form. An algorithm for calculating the stationary distribution is proposed. Formulas for the key performance characteristics of the system are obtained in terms of the stationary distribution of the Markov chain describing the system dynamics. The results can be used to make expert decisions in analyzing the performance and design of various telecommunication networks.

 

система массового обслуживанияненадежные приборыгрупповой марковский потокфазовое распределение времени обслуживаниястационарное распределениехарактеристики производительностиqueuing systemunreliable serversbatch Markovian arrival processphase type distributionstationary distributionperformance characteristicsИсследование выполнено в рамках совместного проекта Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант № Ф18Р-136) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-57-00002).This work has been financially supported by the joint grant of Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (no. F18R-136) and Russian Foundation for Fundamental Research (no. 18-57-00002).ReferencesReliability-based measures for a retrial system with mixed standby components / C. C. Kuoa [et al.] // Applied Mathematical Modelling. – 2014. – Vol. 38. – P. 4640–4651.Kuoa C. C., Sheub S. H., Ke J. C., Zhang Z. G. Reliability-based measures for a retrial system with mixed standby components. Applied Mathematical Modelling, 2014, vol. 38, pp. 4640–4651.Modeling of multi-server repair problem with switching failure and reboot delay and related profit analysis / Y. L. Hsu [et al.] // Computers and Industrial Engineering. – 2014. – Vol. 69. – P. 21–28.Hsu Y. L., Ke J. C., Liu T. H., Wu C. H. Modeling of multi-server repair problem with switching failure and reboot delay and related profit analysis. Computers and Industrial Engineering, 2014, vol. 69, pp. 21–28.Wu, C. H. Multi-server machine repair problems under a ( , synchronous single vacation policy / C. H. Wu, J. C. Ke // Applied Mathematical Modelling. – 2014. – Vol. 38. – P. 2180–2189.Wu C. H., Ke J. C. Multi-server machine repair problems under a ( , synchronous single vacation policy. Applied Mathematical Modelling, 2014, vol. 38, pp. 2180–2189.Klimenok, V. I. A / / queue with negative customers and partial protection of service / V. I. Klimenok, A. N. Dudin // Communications in Statistics – Simulation and Computation. – 2012. – Vol. 41. – P. 1062–1082.Klimenok V. I., Dudin A. N. A / / queue with negative customers and partial protection of service. Communications in Statistics – Simulation and Computation, 2012, vol. 41, pp. 1062–1082.Priority retrial queueing model operating in random environment with varying number and reservation of servers / A. Dudin [et al.] // Applied Mathematics and Computations. – 2015. – Vol. 269. – P. 674–690.Dudin A., Kim C. S., Dudin S., Dudina O. Priority retrial queueing model operating in random environment with varying number and reservation of servers. Applied Mathematics and Computations, 2015, vol. 269, pp. 674–690.Lucantoni, D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process / D. Lucantoni // Communications in Statistics. Stochastic Models. – 1991. – Vol. 7. – P. 1–46.Lucantoni D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process. Communications in Statistics. Stochastic Models, 1991, vol. 7, pp. 1–46.Neuts, M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models / M. F. Neuts. – Baltimore : The Johns Hopkins University Press, 1981. – 352 р.Neuts M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models. Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 1981, 352 р.Graham, A. Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications / A. Graham. – Cichester : Ellis Horwood, 1981. – 130 р.Graham A. Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications. Cichester, Ellis Horwood, 1981, 130 р.Klimenok, V. I. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory / V. I. Klimenok, A. N. Dudin // Queueing Systems. – 2006. – Vol. 54. – P. 245–259.Klimenok V. I., Dudin A. N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory. Queueing Systems, 2006, vol. 54, pp. 245–259.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.