informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASBinform-312Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МДП-СТРУКТУРЕ С ОДИНОЧНЫМ ДОНОРОМTHE USE OF THE FINITE DIFFERENCE METHOD FOR CALCULATION OF ELECTRONIC STATES IN MIS-STRUCTURE WITH SINGLE DONOR 1ЛевчукЕ. А.LevchukE. A.

ассистент

assistant

liauchuk.alena@gmail.comЛемешевскийС. В.LemeshevskiiS. V.

кандидат физико-математических наук, зам. директора

Ph. D. (Physics and Mathematics), Deputy Director

svl@im.basnet.byМакаренкоЛ. Ф.MakarenkoL. F.

кандидат физико-математических наук, доцент

Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

makarenko@bsu.byБелорусский государственный университет, МинскBelarusian State University, MinskИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk201826032018151720Copyright © Левчук Е.А., Лемешевский С.В., Макаренко Л.Ф., 20182018Левчук Е.А., Лемешевский С.В., Макаренко Л.Ф.Levchuk E.A., Lemeshevskii S.V., Makarenko L.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/312

Проводится численное моделирование эволюции электронных состояний под действием неоднородного внешнего электрического поля в структуре металл-диэлектрик-полупроводник (МДП-структуре) при наличии одиночного донорного центра. В качестве источника электрического поля рассматривается нанометровый дискообразный затвор, для расчета потенциала которого решается задача для уравнения Лапласа в многослойной среде. Энергетический спектр связанного электрона находится из задачи для стационарного уравнения Шредингера. Для решения обеих задач строятся разностные схемы. Разностная схема для уравнения Шредингера учитывает неаналитичность волновой функции в точке расположения донора. При решении задачи для уравнения Лапласа предлагаются асимптотические граничные условия, аппроксимирующие потенциал внешнего поля на больших расстояниях от затвора в различных слоях, что позволяет существенно уменьшить расчетную область. Исследуется влияние этих граничных условий на точность вычисления потенциала и энергий. С помощью построенных разностных схем рассчитываются зависимости энергетического спектра связанного электрона от потенциала на затворе, определяются значения критического потенциала, при котором происходит передислокация волновой функции электрона. На основании результатов вычислений устанавливается, что управляющим параметром для описания поведения электрона является разность потенциалов между донором и поверхностью полупроводника. Показывается, что критическая разность потенциалов практически не зависит от толщины и проницаемости диэлектрического слоя.

 

Numerical modeling of electronic state evolution due to non-uniform external electric field in the structure metal-insulator-semiconductor with solitary donor center is carried out. Considering a nanometer disc-shaped gate as a source of the electric field, the problem for the Laplace equation in multilayered medium is solved numerically to determine the distribution of the gate potential. The energy spectrum of a bound electron is calculated from the problem for the stationary Schrödinger equation. Finite difference schemes are constructed to solve both the problems. Difference scheme for the Schrödinger equation takes into account cusp condition for the wave function at the donor location. To solve the problem for the Laplace equation, asymptotic boundary conditions for approximating the external field potential at large distances from the gate in different layers are suggested. These conditions allow to reduce the calculation domain for the electrostatic problem essentially. The effect of the boundary conditions on the accuracy of calculating the potential and energies is investigated. Using the developed difference schemes, the dependences of the energy spectrum of the bound electron on the gate potential are calculated, and the values of critical potential at which the wave function of the electron is relocated are determined. It has been found on the basis of calculation results, that governing parameter for the description of electronic behavior is the potential difference between the donor and semiconductor surface. It has been shown that critical potential difference does not depend on dielectric thickness and permittivity.

метод конечных разностейМДП-структурауравнение Шредингерананозатворэнергетический уровеньчисленное моделированиеfinite difference methodMIS-structureSchrödinger equationnanogateenergy levelnumerical modelingReferencesSimulation of intrinsic parameter fluctuations in decananometer and nanometer-scale MOSFETs / A. Asenov [et al.] // IEEE transactions on electron devices. – 2003. – Vol. 50, no. 9. – P. 1837–1852.Simulation of intrinsic parameter fluctuations in decananometer and nanometer-scale MOSFETs / A. Asenov [et al.] // IEEE transactions on electron devices. – 2003. – Vol. 50, no. 9. – P. 1837–1852.Koenraad, P. M. Single dopants in semiconductors / P. M. Koenraad, M. E. Flatte // Nature materials. – 2011. – Vol. 10, no. 2. – P. 91–100.Koenraad, P. M. Single dopants in semiconductors / P. M. Koenraad, M. E. Flatte // Nature materials. – 2011. – Vol. 10, no. 2. – P. 91–100.Kane, B. E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B. E. Kane // Nature (London). – 1998. – Vol. 393, no. 6681. – P. 133–137.Kane, B. E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B. E. Kane // Nature (London). – 1998. – Vol. 393, no. 6681. – P. 133–137.Electron-spin-resonance transistors for quantum computing in silicon-germanium heterostructures / R. Vrijen [et al.] // Physical Review A. – 2000. – Vol. 62, no. 1. – P. 012306-1–012306-10.Electron-spin-resonance transistors for quantum computing in silicon-germanium heterostructures / R. Vrijen [et al.] // Physical Review A. – 2000. – Vol. 62, no. 1. – P. 012306-1–012306-10.Charge-based quantum computing using single donors in semiconductors / L.C.L. Hollenberg [et al.] // Physical Review B. – 2004. – Vol. 69, no. 11. – P. 113301-1–113301-5.Charge-based quantum computing using single donors in semiconductors / L.C.L. Hollenberg [et al.] // Physical Review B. – 2004. – Vol. 69, no. 11. – P. 113301-1–113301-5.Gate-induced ionization of single dopant atoms / G. D. J. Smit [et al.] // Physical Review B. – 2003. – Vol. 68, no.19. – P. 193302-1–193302-5.Gate-induced ionization of single dopant atoms / G. D. J. Smit [et al.] // Physical Review B. – 2003. – Vol. 68, no.19. – P. 193302-1–193302-5.Numerical study of hydrogenic effective mass theory for an impurity P donor in Si in the presence of an electric field and interfaces / L. M. Kettle [et al.] // Physical Review B. – 2003. – Vol. 68, no. 7. – P. 075317-1–075317-7.Numerical study of hydrogenic effective mass theory for an impurity P donor in Si in the presence of an electric field and interfaces / L. M. Kettle [et al.] // Physical Review B. – 2003. – Vol. 68, no. 7. – P. 075317-1–075317-7.MacMillen, D. B. Variational solutions of simple quantum systems subject to variable boundary conditions. II. Shallow donor imputities near semiconductor interfaces: Si, Ge / D. B. MacMillen, U. Landman // J. Chem. Phys. – 1984. – Vol. 80, no. 2. – P. 1691–1702.MacMillen, D. B. Variational solutions of simple quantum systems subject to variable boundary conditions. II. Shallow donor imputities near semiconductor interfaces: Si, Ge / D. B. MacMillen, U. Landman // J. Chem. Phys. – 1984. – Vol. 80, no. 2. – P. 1691–1702.Calderon, M. J. Quantum control of donor electrons at the Si-SiO2 interface / M. J. Calderon, B. Koiller, S. Das Sarma // Physical Review Lett. – 2006. – Vol. 96, no. 9. – P. 096802-1–096802-5.Calderon, M. J. Quantum control of donor electrons at the Si-SiO2 interface / M. J. Calderon, B. Koiller, S. Das Sarma // Physical Review Lett. – 2006. – Vol. 96, no. 9. – P. 096802-1–096802-5.Calderon, M. J. External field control of donor electron exchange at the Si/SiO2 interface / M. J. Calderon, B. Koiller, S. Das Sarma // Physical Review B. – 2007. – Vol. 75, no. 12. – P. 125311-1–125311-11.Calderon, M. J. External field control of donor electron exchange at the Si/SiO2 interface / M. J. Calderon, B. Koiller, S. Das Sarma // Physical Review B. – 2007. – Vol. 75, no. 12. – P. 125311-1–125311-11.Effect of a metallic gate on the energy levels of a shallow donor / A. F. Slachmuylders [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 2008. – Vol. 92, no. 8. – P. 083104-1–083104-3.Effect of a metallic gate on the energy levels of a shallow donor / A. F. Slachmuylders [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 2008. – Vol. 92, no. 8. – P. 083104-1–083104-3.Shallow donor states near a semiconductor-insulator-metal interface / Y. L. Hao [et al.] // Physical Review B. – 2009. – Vol. 80, no. 3. – P. 035329-1–035329-10.Shallow donor states near a semiconductor-insulator-metal interface / Y. L. Hao [et al.] // Physical Review B. – 2009. – Vol. 80, no. 3. – P. 035329-1–035329-10.Nikolyuk, V. A. The energy structure of quantum dots induced in quantum wells by a nonuniform electric field / V. A. Nikolyuk, I. V. Ignatiev // Semiconductors. – 2007. – Vol. 41, no. 12. – P. 1422–1429.Nikolyuk, V. A. The energy structure of quantum dots induced in quantum wells by a nonuniform electric field / V. A. Nikolyuk, I. V. Ignatiev // Semiconductors. – 2007. – Vol. 41, no. 12. – P. 1422–1429.Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Souza, G. V. B. Finite-difference calculation of donor energy levels in a spherical quantum dot subject to a magnetic field / G. V. B. Souza, A. Bruno-Alfonso // Physica E. – 2015. – Vol. 66. – P. 128–132.Souza, G. V. B. Finite-difference calculation of donor energy levels in a spherical quantum dot subject to a magnetic field / G. V. B. Souza, A. Bruno-Alfonso // Physica E. – 2015. – Vol. 66. – P. 128–132.Modeling a nanowire superlattice using the finite difference method in cylindrical polar coordinates / C. Galeriu [et al.] // Comp. Phys. Commun. – 2004. – Vol. 157, no. 2. – P. 147–159.Modeling a nanowire superlattice using the finite difference method in cylindrical polar coordinates / C. Galeriu [et al.] // Comp. Phys. Commun. – 2004. – Vol. 157, no. 2. – P. 147–159.Bingel, W. A. A physical interpretation of the cusp conditions for molecular wave functions / W. A. Bingel // Theoretica Chimica Acta. – 1967. – Vol. 8, no. 1. – P. 54–61.Bingel, W. A. A physical interpretation of the cusp conditions for molecular wave functions / W. A. Bingel // Theoretica Chimica Acta. – 1967. – Vol. 8, no. 1. – P. 54–61.Смайт, В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт. – М.: Изд-во иностр. лит., 1954. – 604 с.Смайт, В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт. – М.: Изд-во иностр. лит., 1954. – 604 с.Levchuk, E. A. On controlling the electronic states of shallow donors using a finite-size metal gate / E. A. Levchuk, L.F. Makarenko // Semiconductors. – 2016. – Vol. 50, no. 1. – P. 89–96.Levchuk, E. A. On controlling the electronic states of shallow donors using a finite-size metal gate / E. A. Levchuk, L.F. Makarenko // Semiconductors. – 2016. – Vol. 50, no. 1. – P. 89–96.Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. – М.: Мир, 1980. – 510 с.Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. – М.: Мир, 1980. – 510 с.Левчук, Е. А. Влияние магнитного поля на локализацию волновой функции электрона в системе нанозатвор – донор / Е. А. Левчук, Л. Ф. Макаренко // Известия НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2016. – № 2. – P. 68–75.Левчук, Е. А. Влияние магнитного поля на локализацию волновой функции электрона в системе нанозатвор – донор / Е. А. Левчук, Л. Ф. Макаренко // Известия НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2016. – № 2. – P. 68–75.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.