informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2025-22-3-59-71inform-1359Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGАналитическое решение задачи экранирования низкочастотного магнитного поля тонкими сферическими экранамиAnalytical solution of the shielding low-frequency magnetic field by thin spherical screens problemШушкевичГ. Ч.ShushkevichG. Ch.

Шушкевич Геннадий Чеславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры современных технологий программирования.

ул. Ожешко, 22, Гродно, 230023

Gennady Ch. Shushkevich - D. Sc. (Phys.-Math.), Prof. of Modern Programming Technologies Department, Yanka Kupala State University of Grodno.

Ozheshko st., 22, Grodno, 230023

gsys@grsu.byГродненский государственный университет им. Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno2025101020252235971Copyright © Шушкевич Г.Ч., 20252025Шушкевич Г.Ч.Shushkevich G.C.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1359Ц е л и

Ц е л и. Целями работы являются построение аналитического решения задачи экранирования низкочастотного магнитного поля двумя тонкими непересекающимися сферическими экранами, расположенными на поверхности сферы, и вычисление коэффициента экранирования исходного магнитного поля сферическими экранами.

М е т о д ы

М е т о д ы. Для решения поставленной граничной задачи используются метод теорем сложения и метод тройных сумматорных уравнений. Потенциал исходного магнитного поля представляется в виде сферических гармонических функций. Вторичные потенциалы магнитного поля представляются в виде суперпозиции сферических гармонических функций в локальной системе координат в трехмерном пространстве.

Р е з у л ь т а т ы

Р е з у л ь т а т ы. Решение поставленной граничной задачи сведено к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно специальным образом введенных функций. Численно исследовано влияние геометрических параметров задачи на значение коэффициента экранирования. Результаты вычислений представлены в виде графиков.

З а к л ю ч е н и е

З а к л ю ч е н и е. Предложенные методика и разработанное программное обеспечение могут найти практическое применение при конструировании экранов в различных областях техники.

O b j e c t i v e s

O b j e c t i v e s. Construction of an analytical solution to the problem of shielding a low-frequency magnetic field by two thin non-intersecting spherical screens located on the surface of a sphere. Calculation of the shielding coefficient of the initial magnetic field by spherical screens.

M e t h o d s

M e t h o d s. The method of addition theorems and the method of triple summation equations are used to solve the boundary value problem. The potential of the initial magnetic field is represented as spherical harmonic functions. The secondary potentials of the magnetic field are represented as a superposition of spherical harmonic functions in a local coordinate system in three-dimensional space.

Re s u l t s

Re s u l t s. The solution of the boundary value problem is reduced to the solution of a system of Fredholm integral equations of the second kind with respect to specially introduced functions. The influence of the geometric parameters of the problem on the value of the screening coefficient is numerically investigated. The results of the calculations are presented in the form of graphs.

Co n c l u s i o n

Co n c l u s i o n. The proposed methodology and the developed software can find practical application in the development and design of screens in various fields of technology.

граничная задачамагнитное полепотенциалтеоремы сложениягармонические функциитройные сумматорные уравненияboundary value problemmagnetic fieldpotentialaddition theoremsharmonic functionstriple series equationsРабота выполнялась в рамках подпрограммы «Математические модели и методы» Государственной программы научных исследований «Конвергенция 2025».The work was carried out within the framework of the "Mathematical Models and Methods" of the State Program for Scientific Research "Convergence 2025".ReferencesШапиро, Д. Н. Электромагнитное экранирование / Д. Н. Шапиро. – Долгопрудный : Издательский дом «Интеллект», 2010. – 120 с.Shapiro D. N. Elektromagnitnoye ekranirovaniye. Electromagnetic Shielding. Dolgoprudny, Izdatel'skij dom "Intellekt", 2010, 120 p. (In Russ.).Кечиев, Л. Н. Экранирование радиоэлектронной аппаратуры. Инженерное пособие / Л. Н. Кечиев. – М. : Грифон, 2019. – 720 с.Kechiev L. N. Ekranirovaniye radioelektronnoy apparatury. Inzhenernoye posobiye. Shielding of Electronic Equipment. Engineering Manual. Moscow, Grifon, 2019, 720 p. (In Russ.).Дмитриев, В. И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. – М. : МАКС Пресс, 2008. – 316 с.Dmitriev V. I., Zakharov E. V. Metod integral'nykh uravneniy v vychislitel'noy elektrodinamike. Method of Integral Equations in Computational Electrodynamics. Moscow, MAKS Press, 2008, 316 p. (In Russ.).Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В. П. Ильин. – Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2000. – 345 с.Ilyin V. P. Metody konechnykh raznostei i konechnykh ob"emov dlia ellipticheskikh uravnenii. Finite Difference and Finite Volume Methods for Elliptic Equations. Novosibirsk, Izdatel'stvo Instituta matematiki, 2000, 345 p. (In Russ.).Исаев, Ю. Н. Методы расчета электромагнитных полей. Практика использования MathCAD, COMSOL Multiphysics / Ю. Н. Исаев, О. В. Васильева. – Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. – 162 с.Isaev Yu. N., Vasilyeva O. V. Metody rascheta elektromagnitnykh poley. Praktika ispol'zovaniya MathCAD, COMSOL Multiphysics. Methods for the Calculation of Electromagnetic Fields. Practice Using MathCAD, COMSOL Multiphysics. Saarbruchen, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012, 162 р. (In Russ).Pierrus, J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments / J. Pierrus. – Oxford : Oxford University Press, 2018. – 638 p. – DOI: 10.1093/oso/9780198821915.001.0001.Pierrus J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments. Oxford, Oxford University Press, 2018, 638 p. DOI: 10.1093/oso/9780198821915.001.0001.Уфлянд, Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики / Я. С. Уфлянд. – M. : Наука, 1977. – 220 с.Uflyand Ya. S. Metod parnykh uravneniy v zadachakh matematicheskoy fiziki. Method of Paired Equations in Problems of Mathematical Physics. Moscow, Nauka, 1977, 220 p.Шестопалов, В. П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции / В. П. Шестопалов. – Киев : Наукова думка, 1983. – 252 с.Shestopalov V. P. Summatornyye uravneniya v sovremennoy teorii difraktsii. Summation Equations in Modern Diffraction Theory. Kyiv, Naukova dumka, 1983, 252 p. (In Russ.).Boridy, E. Quasistatic magnetic field penetration through a circular aperture of a spherical shield enclosing a spherical conductor / E. Boridy // Journal of Applied Physics. – 1990. – Vol. 68, no. 2. – P. 422– 430.Boridy E. Quasistatic magnetic field penetration through a circular aperture of a spherical shield enclosing a spherical conductor. Journal of Applied Physics, 1990, vol. 68, no. 2, pp. 422–430.Duffy, D. G. Mixed boundary value problems / D. G. Duffy. – N. Y. : Chapman & Hall/CRC, 2008. – 488 p. – DOI: 10.1201/9781420010947.Duffy D. G. Mixed Boundary Value Problems. New York, Chapman & Hall/CRC, 2008, 488 p. DOI: 10.1201/9781420010947.Шушкевич, Г. Ч. Методика решения электростатической задачи для тонкой незамкнутой сферической оболочки / Г. Ч. Шушкевич // Электричество. – 2010. – № 6. – С. 63–68.Shushkevich G. Ch. A technique for solving an electrostatic problem for a thin non-closed spherical shell. Elektrichestvo [Electricity], 2010, no. 6, pp. 63–68 (In Russ.).Иванов, Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах / Е. А. Иванов. – Минск : Наука и техника, 1968. – 584 с.Ivanov E. A. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na dvukh telakh. Diffraction of Electromagnetic Waves on Two Bodies. Minsk, Nauka i tehnika, 1968, 584 p. (In Russ.).Ерофеенко, В. Т. Задача электростатики для двух тороидальных проводников / В. Т. Ерофеенко // Журнал технической физики. – 1986. – Т. 56, № 8. – C. 1641–1643.Erofeenko V. T. The problem of electrostatics for two toroidal conductors. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Technical Physics], 1986, vol. 56, no. 8, pp. 1641–1643 (In Russ.).Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a torus placed in an infinite cylinder / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. – 2004. – Vol. 49, no. 5. – P. 540–544.Shushkevich G. Ch. Electrostatic problem for a torus placed in an infinite cylinder. Technical Physics, 2004, vol. 49, no. 5, pp. 540–544.Шушкевич, Г. Ч. Проникновение низкочастотного магнитного поля через плоский слой со сфероидальным включением, тонкостенными слоями / Г. Ч. Шушкевич, А. И. Куц // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага ўніверсітэта. Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. – 2012. – № 3. – С. 45–52.Shushkevich G. Ch., Kuts A. I. Penetration of a low-frequency magnetic field through a flat layer with a spheroidal inclusion, thin-walled layers. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta. Ser. 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal'naya tekhnika i kiravanne [Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Engineering and Management], 2012, no. 3. pp. 45–52 (In Russ.).Shushkevich, G. Ch. Electrostatic field of a flattened ellipsoid and disc between two thin open spherical shells / G. Ch. Shushkevich, S. V. Shushkevich // Electrical Technology. – 1996. – no. 1. – P. 89–99.Shushkevich, G. Ch., Shushkevich S. V. Electrostatic field of a flattened ellipsoid and disc between two thin open spherical shells. Electrical Technology, 1996, no. 1, pp. 89–99.Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a torus and a disk / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. – 1997. – Vol. 42, no. 4. – P. 436–438.Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a torus and a disk. Technical Physics, 1997, vol. 42, no. 4, рр. 436–438.Шушкевич, Г. Ч. Моделирование полей в многосвязных областях в задачах электростатики / Г. Ч. Шушкевич. – Saarbruchen : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. – 228 c.Shushkevich G. Ch. Modelirovanie polei v mnogosvyaznykh oblastyakh v zadachakh elektrostatiki. Modeling Fields in Multiply Connected Domains in Electrostatic Problems. Saarbruchen, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015, 228 р. (In Russ.).Erofeenko, V. T. Screening of low-frequency magnetic fields by an open thin-wall spherical shell / V. T. Erofeenko, I. S. Kozlovskaya, G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. – 2010. – Vol. 55, no. 9. – P. 1240–1247. – DOI: 10.1134/S1063784210090021.Erofeenko V. T., Kozlovskaya I. S., Shushkevich G. Ch. Screening of low-frequency magnetic fields by an open thin-wall spherical shell. Technical Physics, 2010, vol. 55, no. 9, pp. 1240–1247. DOI: 10.1134/S1063784210090021.Erofeenko, V. T. Shielding of a low-frequency electric field by a multilayer circular disk / V. T. Erofeenko, G. H. Shushkevich // Technical Physics. – 2013. – Vol. 58, no. 6. – P. 866–871. – DOI: 10.1134/S106378421306011X.Erofeenko V. T., Shushkevich G. H. Shielding of a low-frequency electric field by a multilayer circular disk. Technical Physics, 2013, vol. 58, no. 6, pp. 866–871. DOI: 10.1134/S106378421306011X.Шушкевич, Г. Ч. Аналитическое решение задачи экранирования низкочастотного магнитного поля тонкостенным цилиндрическим экраном в присутствии цилиндра / Г. Ч. Шушкевич // Информатика. – 2021. – Т. 18, № 3. – С. 45–55.Shushkevich G. Ch. Analytical solution to the problem of shielding a low-frequency magnetic field with a thin-walled cylindrical screen in the presence of a cylinder. Informatika [Informatics], 2021, vol. 18, no. 3, pp. 45–55 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Аналитическое решение задачи экранирования низкочастотного магнитного поля двумя тонкостенными цилиндрическими экранами / Г. Ч. Шушкевич // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага ўніверсітэта імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2022. – Т. 12, № 1. – С. 16–24.Shushkevich G. Ch. Analytical solution to the problem of shielding a low-frequency magnetic field with two thin-walled cylindrical screens. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta. Ser. 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal'naya tekhnika i kiravanne [Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Engineering and Management], 2022, vol. 12, no. 1, pp. 16–24 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Аналитическое решение задачи экранирования низкочастотного магнитного поля тонкостенным цилиндрическим экраном с эллипсоидальным включением / Г. Ч. Шушкевич // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага ўніверсітэта імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2024. – Т. 14, № 3. – С. 80–89.Shushkevich G. Ch. Analytical solution to the problem of shielding a low-frequency magnetic field with a thin-walled cylindrical screen with an ellipsoidal inclusion. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta. Ser. 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal'naya tekhnika i kiravanne [Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Engineering and Management], 2024, vol. 14, no. 3, pp. 80–89 (In Russ.).Аполлонский, С. М. Моделирование и расчет электромагнитных полей в технических устройствах : в 3 т. / С. М. Аполлонский. – М. : Русайнс, 2024. – Т. 3: Расчеты электромагнитных полей в научных и инженерно-технических задачах. – 388 с.Apollonsky S. M. Modelirovaniye i raschet elektromagnitnykh poley v tekhnicheskikh ustroystvakh [Modeling and Calculation of Electromagnetic Fields in Technical Devices]. T. 3. Raschety elektromagnitnykh poley v nauchnykh i inzhenerno-tekhnicheskikh zadachakh [Vol. 3. Calculations of Electromagnetic Fields in Scientific and Engineering Problems]. Moscow, Rusajns, 2024, 388 p. (In Russ.).Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами : пер. с англ. / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М. : Наука, 1979. – 830 с.Abramowitz M., Stegun I. A. (eds.). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, 1965, 1046 p.Корзюк, В. И. О разрешимости некоторых задач в теории экранирования полей системами экранов / В. И Корзюк, Г. Ч. Шушкевич // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2006. – Т. 14, № 1. – С. 71–81.Korzyuk V. I., Shushkevich G. Ch. On the solvability of some problems in the theory of screening of fields by systems of screens. Trudy Instituta matematiki NAN Belarusi [Proceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus], 2006, vol. 14, no. 1, pp. 71–81 (In Russ.).Ерофеенко, В. Т. Теоремы сложения / В. Т. Ерофеенко. – Минск : Наука и техника, 1989. – 240 с.Erofeenko V. Т. Teoremy slozheniya. Addition Theorems. Minsk, Nauka i tekhnika, 1989, 240 p. (In Russ.).Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2002. – 848 с.Verzhbitsky V. M. Osnovy chislennykh metodov. Fundamentals of Numerical Methods. Moscow, Vysshaya shkola, 2002, 848 р. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.