informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2024-21-3-39-47inform-1293Research ArticleЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ И НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМINFORMATION PROTECTION AND SYSTEM RELIABILITYРазделение секрета в специальной линейной группеSecret sharing in a special linear groupЯнчевскийВ. И.YanchevskiĭV. I.

Янчевский Вячеслав Иванович, доктор физико-математических наук, академик Национальной академии наук Беларуси, заведующий отделом алгебры

ул. Сурганова, 11, Минск, 220012

Vyacheslav I. Yanchevskiĭ, D. Sc. (Phys.-Math.), Acad. of the National Academy of Sciences of Belarus, Head of the Algebra Department

st. Surganova, 11, Minsk, 220012

yanch@im.bas-net.byhttps://orcid.org/0009-0004-9914-1635ГоворушкоИ. О.HavarushkaI. A.

Говорушко Игорь Олегович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, Минск, 220012

Ihar A. Havarushka, Ph. D. (Phys.-Math.), Researcher

st. Surganova, 11, Minsk, 220012

govorushko88@gmail.comМатвеевГ. В.MatveevG. V.

Матвеев Геннадий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики факультета прикладной математики и информатики

пр. Независимости, 4, Минск, 220030

Gennadii V. Matveev, Ph. D. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Assoc. Prof. of the Department of Higher Mathematics of the Faculty of Applied Mathematics and Computer Sciences

av.Nezavisimosti, 4, Minsk, 220030

matveev@bsu.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University2024300920242133947Copyright © Янчевский В.И., Говорушко И.О., Матвеев Г.В., 20242024Янчевский В.И., Говорушко И.О., Матвеев Г.В.Yanchevskiĭ V.I., Havarushka I.A., Matveev G.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1293Цели

Цели. Решается задача по разработке математических основ модулярного разделения секрета в специальной линейной группе над кольцом целых чисел.

Актуальность задачи определяется тем, что к схемам разделения секрета предъявляется большое число требований. К ним относятся идеальность схемы, возможность проведения верификации, изменения порога без участия дилера, реализации непороговой структуры доступа и некоторые другие. Каждая разработанная к настоящему времени схема разделения секрета не в полной мере удовлетворяет всем этим требованиям. Она обладает лишь определенной конфигурацией требуемых свойств. Разработка же схемы на новой математической основе призвана расширить список таких конфигураций, что создает для пользователя больше возможностей в выборе оптимального варианта.

Методы

Методы. Используется теория групп, модулярная арифметика и теория схем разделения секрета.

Результаты

Результаты. Строится фундаментальная область относительно действия главной конгруэнц-подгруппы правыми сдвигами в специальной линейной группе матриц второго порядка над кольцом целых чисел. На этой основе предложены способы модулярного разделения секрета и его порогового восстановления.

Заключение

Заключение. Дано строгое математическое обоснование корректности алгоритмов генерации частичных секретов и восстановления основного секрета в специальной линейной группе над кольцом целых чисел. Эти результаты будут использованы для изучения конфигурации свойств разделения секрета в данной группе.

Objectives

Objectives. The problem of developing the mathematical foundations of modular secret sharing in a special linear group over the ring of integers is being solved.

The relevance of the problem is reduced to the fact that a large number of requirements are imposed on secret sharing schemes. These include the ideality of the scheme, the possibility of verification, changing the threshold without the participation of the dealer, the implementation of a non-threshold access structure and some others. Every secret sharing scheme developed to date does not fully satisfy all these requirements. It only has a certain configuration of these properties. The development of a scheme on a new mathematical basis is intended to expand the list of these configurations, which creates more opportunities for the user in choosing the optimal option.

Methods

Methods. Group theory, modular arithmetic and theory of secret sharing schemes are used.

Results

Results. A fundamental domain with respect to the action of the main congruence subgroup by right shifts in the special linear group of second-order matrices over the ring of integers is constructed. On this basis, methods for modular secret sharing and its threshold restoration are proposed.

Conclusion

Conclusion. A rigorous mathematical justification is given for the correctness of the algorithms for generating partial secrets and restoring the main secret in the special linear group over the ring of integers. These results will be used to study the configuration of secret sharing properties in this group.

специальная линейная группаконгруэнц-подгруппафундаментальная областьмодулярное разделение секретапороговая структура доступаspecial linear groupcongruence subgroupfundamental domainmodular secret sharingthreshold access structureReferencesCramer, R. Multiparty Computation from Threshold Homomorphic Encryption / R. Cramer, I. Damgard, J. Nielsen // LNCS. – 2001. – Vol. 2045. – P. 280–300.Cramer R., Damgard I., Nielsen J. Multiparty Computation from Threshold Homomorphic Encryption. LNCS, 2001, vol. 2045, pp. 280–300.Bethencourt, J. Ciphertext-policy attribute-based encryption / J. Bethencourt, A. Sahai, B. Waters // Proc. of IEEE Symp. on Security and Privacy, Berkeley, CA, USA, 20–23 May 2007. – Berkeley, 2007. – P. 321–334.Bethencourt J., Sahai A., Waters B. Ciphertext-policy attribute-based encryption. Proceedings of IEEE Symposium on Security and Privacy, Berkeley, CA, USA, 20–23 May 2007. Berkeley, 2007, pp. 321–334.Benaloh, J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing / J. Benaloh // LNCS. – 1987. – Vol. 263. – P. 251–260.Benaloh J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing. LNCS, 1987, vol. 263, pp. 251–260.Shamir, A. How to share a secret / A. Shamir // Communications of the ACM. – 1979. – Vol. 22. – P. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176Shamir A. How to share a secret. Communications of the ACM, 1979, vol. 22, pp. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176Asmuth, C. A modular approach to key safeguarding / C. Asmuth, J. Bloom // IEEE Transactions on Information Theory. – 1983. – Vol. 29. – P. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding. IEEE Transactions on Information Theory, 1983, vol. 29, pp. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651Mignotte, M. How to share a secret / M. Mignotte // LNCS. – 1983. – Vol. 149. – P. 371–375.Mignotte M. How to share a secret. LNCS, 1983, vol. 149, pp. 371–375.Galibus, T. Some structural and security properties of the modular secret sharing / T. Galibus, G. Matveev, N. Shenets // 2008 10th Intern. Symp. on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, Romania, 26–29 Sept. 2008. – Timisoara, 2008. – P. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14Galibus T., Matveev G., Shenets N. Some structural and security properties of the modular secret sharing. 2008 10th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, Romania, 26–29 September 2008. Timisoara, 2008, pp. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14Galibus, T. Generalized Mignotte's Sequences Over Polynomial Rings / T. Galibus, G. Matveev // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. – 2007. – Vol. 186. – P. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044Galibus T., Matveev G. Generalized Mignotte's Sequences Over Polynomial Rings. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 2007, vol. 186, pp. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044Galibus, T. Finite Fields. Gröbner Bases and Modular Secret Sharing / T. Galibus, G. Matveev // J. of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography. – 2012. – Vol. 15. – P. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386Galibus T., Matveev G. Finite Fields. Gröbner Bases and Modular Secret Sharing. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 2012, vol. 15, pp. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386Васьковский, М. М. Верификация модулярного разделения секрета / М. М. Васьковский, Г. В. Матвеев // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2017. – № 2. – С. 17–22.Vaskouski M. M., Matveev G. V. Verification of modular secret sharing. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika [Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics], 2017, no. 2, pp. 17–22 (In Russ.)Матвеев, Г. В. Совершенная верификация модулярной схемы / Г. В. Матвеев, В. В. Матулис // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2018. – № 2. – С. 4–9.Matveev G. V., Matulis V. V. Perfect verification of modular scheme. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika [Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics], 2018, no. 2, pp. 4–9 (In Russ.)Di Matteo, G. The action of SL2(Z) on the upper-half complex plane / G. Di Matteo. – Mode of access: https://www.dimatteo.is/Mathematics/Courses/Modular-forms/02-SL2Z.pdf. – Date of access: 10.04.2024.Di Matteo G. The action of SL2(Z) on the upper-half complex plane. Available at: https://www.dimatteo.is/Mathematics/Courses/Modular-forms/02-SL2Z.pdf (accessed 10.04.2024).Платонов, В. П. Алгебраические группы и теория чисел / В. П. Платонов, А. С. Рапинчук. – M. : Наука, 1991. – 656 с.Platonov V. P., Rapinchuk A. S. Algebraicheskie gruppy i teoriya chisel. Algebraic Groups and Number Theory. Moscow, Nauka, 1991, 656 p. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.