informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2023-20-4-56-68inform-1264Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGВариационно-разностный метод численного моделирования равновесных капиллярных поверхностейA variational-difference method for numerical simulation of equilibrium capillary surfacesГорбачёваЮ. Н.GorbachevaYu. N.

Горбачёва Юлия Николаевна, старший преподаватель кафедры вычислительной математики факультета прикладной математики и информатики

пр. Независимости, 4, Минск, 220030

Yuliya N. Gorbacheva, Senior Lecturer of the Department of Computational Mathematics of the Faculty of Applied Mathematics and Informatics

av. Nezavisimosti, 4, Minsk, 220030

gorbachevayun@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-3846-7776ПолевиковВ. К.PolevikovV. K.

Полевиков Виктор Кузьмич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной математики факультета прикладной математики и информатики

пр. Независимости, 4, Минск, 220030

Viktor K. Polevikov, Ph. D. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Assoc. Prof. of the Department of Computational Mathematics of the Faculty of Applied Mathematics and Informatics

av. Nezavisimosti, 4, Minsk, 220030

polevikov@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University2023291220232045668Copyright © Горбачёва Ю.Н., Полевиков В.К., 20232023Горбачёва Ю.Н., Полевиков В.К.Gorbacheva Y.N., Polevikov V.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1264Цели

Цели. Предлагается вариационно-разностный метод численного моделирования равновесных капиллярных поверхностей, базирующийся на минимизации энергетического функционала. В качестве тестовой рассматривается известная осесимметричная задача о равновесных формах капли, находящейся на горизонтальной вращающейся плоскости в поле силы тяжести. Математическая модель задачи строится на основании вариационного принципа: капля принимает такую форму, при которой она обладает минимумом полной энергии при заданном объеме. С помощью метода конечных элементов задача минимизации функционала сводится к системе нелинейных уравнений, решение которой ищется с помощью итерационного метода Ньютона.

Методы

Методы. Используется вариационно-разностный подход (метод конечных элементов), в котором в качестве базисных функций выбираются финитные линейные функции.

Результаты

Результаты. С помощью метода конечных элементов построены равновесные формы капли на вращающейся плоскости в широком диапазоне определяющих параметров: числа Бонда, вращательного числа Вебера и угла смачивания. Определено влияние этих параметров на форму капли. Численные результаты согласуются с результатами, полученными с помощью итерационно-разностного метода во всем диапазоне физической устойчивости относительно осесимметричных возмущений.

Заключение

Заключение. Метод конечных элементов реагирует на потерю устойчивости капли относительно осесимметричных возмущений, поэтому может применяться для исследования устойчивости равновесия осесимметричных капиллярных поверхностей.

Objectives

Objectives. A variational-difference method for numerical simulation of equilibrium capillary surfaces based on the minimization of the energy functional is proposed. As a test task a well-known axisymmetric hydrostatic problem on equilibrium shapes of a drop adjacent to a horizontal rotating plane under gravity is considered. The mathematical model of the problem is built on the basis of the variational principle: the shape of the drop satisfies the minimum total energy for a given volume. The problem of the functional minimization is reduced to a system of nonlinear equations using the finite element method. To solve the system a Newton's iterative method is applied.

Methods

Methods. The variational-difference approach (the finite element method) is used. The finite linear functions are chosen as basic functions.

Results

Results. Equilibrium shapes of a drop on a rotating plane are constructed by the finite element method in a wide range of defining parameters: Bond number, rotational Weber number and wetting angle. The influence of these parameters on the shape of a drop is investigated. The numerical results are matched with the results obtained using the iterative-difference approach over the entire range of physical stability with respect to axisymmetric perturbations.

Conclusion

Conclusion. The finite element method responds to the loss of stability of a drop with respect to axisymmetric perturbations. Therefore it can be used to study the stability of the equilibrium of axisymmetric capillary surfaces.

равновесные формы капливращающаяся плоскостьчисло Бондачисло Вебераугол смачиванияметод конечных элементовequilibrium shapes of a droprotating planeBond numberWeber numberwetting anglefinite element methodReferencesСокуров, А. А. Численно-аналитическое исследование математических моделей капиллярных менисков / А. А. Сокуров // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2021. – Т. 36, № 3. – С. 80–93. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-36-3-80-93Sokurov A. A. An analytical and numerical study of capillary menisci. Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematičeskie nauki [Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences], 2021, vol. 36, no. 3, pp. 80–93 (In Russ.). https://doi.org/10.26117/2079-6641-2021-36-3-80-93A finite element based algorithm for determining interfacial tension (γ) from pendant drop profiles / N. M. Dingle [et al.] // J. of Colloid and Interface Science. – 2005. – Vol. 286, no. 2. – P. 647–660. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.052Dingle N. M., Tjiptowidjojo K., Basaran O. A., Harris M. T. A finite element based algorithm for determining interfacial tension (γ) from pendant drop profiles. Journal of Colloid and Interface Science, 2005, vol. 286, no. 2, pp. 647–660. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.052Dingle, N. M. A robust algorithm for the simultaneous parameter estimation of interfacial tension and contact angle from sessile drop profiles / N. M. Dingle, M. T. Harris // J. of Colloid and Interface Science. – 2005. – Vol. 286, no. 2. – P. 670–680. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.087Dingle N. M., Harris M. T. A robust algorithm for the simultaneous parameter estimation of interfacial tension and contact angle from sessile drop profiles. Journal of Colloid and Interface Science, 2005, vol. 286, no. 2, pp. 670–680. https://doi.org/10.1016/j.jcis.2005.01.087Simulation of a pending drop at a capillary tip / M. Gille [et al.] // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2015. – Vol. 26. – P. 137–151. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.02.007Gille M., Gorbacheva Yu., Hahn A., Polevikov V., Tobiska L. Simulation of a pending drop at a capillary tip. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015, vol. 26, pp. 137–151. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.02.007Basaran, O. A. Axisymmetric shapes and stability of pendant and sessile drops in an electric field / O. A. Basaran, L. E. Scriven // J. of Colloid and Interface Science. – 1990. – Vol. 140, no. 1. – P. 10–30. https://doi.org/10.1016/0021-9797(90)90316-GBasaran O. A., Scriven L. E. Axisymmetric shapes and stability of pendant and sessile drops in an electric field. Journal of Colloid and Interface Science, 1990, vol. 140, no. 1, pp. 10–30. https://doi.org/10.1016/0021-9797(90)90316-GSaad, S. M. I. Total Gaussian curvature, drop shapes and the range of applicability of drop shape techniques / S. M. I. Saad, A. W. Neumann // Advances in Colloid and Interface Science. – 2014. – Vol. 204. – P. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.cis.2013.12.001Saad S. M. I., Neumann A. W. Total Gaussian curvature, drop shapes and the range of applicability of drop shape techniques. Advances in Colloid and Interface Science, 2014, vol. 204, pp. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.cis.2013.12.001Shape analysis of a rotating axisymmetric drop in gravitational field: Comparison of numerical schemes for real-time data processing / K. D. Danov [et al.] // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. – 2016. – Vol. 489. – P. 75–85. https://doi.org/10.1016/j.colsurfa.2015.10.028Danov K. D., Dimova S. N., Ivanov T. B., Novev J. K. Shape analysis of a rotating axisymmetric drop in gravitational field: Comparison of numerical schemes for real-time data processing. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects, 2016, vol. 489, pp. 75–85. https://doi.org/10.1016/j.colsurfa.2015.10.028Авдейчик, Е. В. Численное исследование относительного равновесия капли с односвязной свободной поверхностью на вращающейся плоскости / Е. В. Авдейчик, П. Н. Конон // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2022. – № 3. – C. 79–90. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-3-79-90Audzeichyk Ya. V., Konon P. N. Numerical study of the relative equilibrium of a droplet with a simply connected free surface on a rotating plane. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika [Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics], 2022, no. 3, pp. 79–90 (In Russ.). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-3-79-90Polevikov, V. K. Methods for numerical modeling of two-dimensional capillary surfaces / V. K. Polevikov // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2004. – Vol. 4, no. 1. – P. 66–93. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0005Polevikov V. K. Methods for numerical modeling of two-dimensional capillary surfaces. Computational Methods in Applied Mathematics, 2004, vol. 4, no. 1, pp. 66–93. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0005Полевиков, В. К. Численное исследование равновесных форм капли, вращающейся в гравитационном поле / В. К. Полевиков, В. М. Денисенко // Вестник Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина. – 1985. – № 2. – С. 37–41.Polevikov V. K., Denisenko V. M. Numerical study of equilibrium shapes of a drop rotating in gravitational field. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta imeni V. I. Lenina [Bulletin of the Belarusian State University named after V. I. Lenin], 1985, no. 2, pp. 37–41 (In Russ.).Черноусько, Ф. Л. Задача о равновесии жидкости, подверженной действию сил тяжести и поверхностного натяжения / Ф. Л. Черноусько // Введение в динамику тела с жидкостью в условиях невесомости. – М. : ВЦ АН СССР, 1968. – С. 69–97.Chernous’ko F. L. The problem of the equilibrium of a fluid subjected to the action of gravity and surface tension. Vvedenie v dinamiku tela s zhidkost'ju v uslovijah nevesomosti [Introduction to the Dynamics of a Body with Liquid in Weightlessness]. Moscow, Vychislitel'nyj centr Akademii nauk Sojuza Sovetskih Socialisticheskih Respublik, 1968, p. 69–97 (In Russ.).Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости / А. Д. Мышкис [и др.] ; под ред. А. Д. Мышкиса. – Киев : Наукова думка, 1992. – 592 с.Myshkis A. D., Babskij V. G., Zhukov M. Ju., Kopachevskij N. D., Slobozhanin L. A., Tjupcov A. D. Metody reshenija zadach gidromehaniki dlja uslovij nevesomosti. Methods for Solving Problems in Hydromechanics in Zero Gravity Conditions. In A. D. Myshkis (ed.). Kiev, Naukova dumka, 1992, 592 p. (In Russ.).Investigation of the shape and stability of a liquid drop on a rotating substrate / P. V. Lebedev-Stepanov [et al.] // Acoustical Physics. – 2011. – Vol. 57, no. 3. – P. 320–325. https://doi.org/10.1134/S1063771011030122Lebedev-Stepanov P. V., Karabut T. A., Chernyshov N. A., Rybak S. A. Investigation of the shape and stability of a liquid drop on a rotating substrate. Acoustical Physics, 2011, vol. 57, no. 3, pp. 320–325. https://doi.org/10.1134/S1063771011030122Финн, Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория : пер. с англ. / Р. Финн. – М. : Мир, 1989. – 312 с.Finn R. Equilibrium Capillary Surfaces. New York, Springer, 1986, 245 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.