informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2023-20-3-61-73inform-1256Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМоделирование электростатического поля заряженного кольца, расположенного внутри бесконечного цилиндра в присутствии тораModeling the electrostatic field of a charged ring located inside an infinite cylinder in the presence of a torusШушкевичГ. Ч.ShushkevichG. Ch.

Шушкевич Геннадий Чеславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры современных технологий программирования.

ул. Ожешко, 22, Гродно, 230023

Gennady Ch. Shushkevich - D. Sc. (Phys.-Math.), Prof, of Modern Programming Technologies Department, Yanka Kupala State University of Grodno.

Ozheshko st., 22, Grodno, 230023

gsys@grsu.byУО «Гродненский государственный университет им. Янки Купалы»Yanka Kupala State University of Grodno2023290920232036173Copyright © Шушкевич Г.Ч., 20232023Шушкевич Г.Ч.Shushkevich G.C.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1256Цели

Цели. Аналитическое решение граничной задачи электростатики для моделирования электростатического поля заряженного кольца, расположенного внутри заземленного бесконечного кругового цилиндра в присутствии идеально проводящего тора. Источник поля - тонкое заряженное кольцо, расположенное на плоскости, перпендикулярной оси цилиндрического экрана.

Методы

Методы. Для решения поставленной задачи используется метод теорем сложения. Потенциал исходного электростатического поля представлен в виде сферических гармонических функций, затем с помощью теорем сложения, связывающих сферические, цилиндрические и тороидальные гармонические функции, - в виде суперпозиции цилиндрических и тороидальных гармонических функций. Вторичный потенциал электростатического поля также представлен в виде суперпозиции цилиндрических и тороидальных гармонических функций.

Результаты

Результаты. Решение поставленной граничной задачи сведено к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго рода относительно коэффициентов, входящих в представление вторичного поля. Численно исследовано влияние некоторых параметров задачи на значение электростатического потенциала внутри заземленного цилиндрического экрана в присутствии тороидального включения. Результаты вычислений представлены в виде графиков.

Заключение

Заключение. Предложенная методика и разработанное программное обеспечение могут найти практическое применение при разработке и конструировании экранов в различных областях техники.

Objectives

Objectives. Analytical solution of the boundary value problem of electrostatics for modeling the electrostatic field of a charged ring located inside a grounded infinite circular cylinder in the presence of a perfectly conducting torus is considered. The field source is a thin charged ring located on a plane perpendicular to the axis of the cylindrical screen.

Methods

Methods. To solve the problem, the method of addition theorems is used. The potential of the initial electrostatic field is presented in the form of spherical harmonic functions and in the form of a superposition of cylindrical and toroidal harmonic functions, using addition theorems relating spherical, cylindrical and toroidal harmonic functions. The secondary potential of the electrostatic field is also represented as a superposition of cylindrical and toroidal harmonic functions.

Results

Results. The solution of the formulated boundary problem is reduced to the solution of an infinite system of linear algebraic equations of the second kind with respect to the coefficients included in the representation of the secondary field. The influence of some parameters of the problem on the value of the electrostatic potential inside a grounded cylindrical shield in the presence of a toroidal inclusion is numerically studied. The calculation results are presented in the form of graphs.

Conclusion

Conclusion. The proposed technique and the developed software can find practical application in the development and design of screens in various fields of technology.

граничная задачаэлектростатическое полепотенциалтеоремы сложениягармонические функцииboundary value problemelectrostatic fieldpotentialaddition theoremsharmonic functionsРабота выполнялась в рамках подпрограммы «Математические модели и методы» Государственной программы научных исследований «Конвергенция 2025».The work was carried out within the framework of the "Mathematical Models and Methods" of the State Program for Scientific Research "Convergence 2025".ReferencesДмитриев, В. И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. - М. : МАКС Пресс, 2008. - 316 с.Dmitriev V. I., Zakharov E. V. Metod integral'nykh uravnenii v vychislitel'noi elektrodinamike. The Method of Integral Equations in Computational Electrodynamics. Moscow, MAKS Press, 2008, 316 р. (In Russ.).Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / B. П. Ильин. - Новосибирск : Ин-т математики, 2000. - 345 с.Ilyin V. P. Metody konechnykh raznostei i konechnykh ob"emov dlia ellipticheskikh uravnenii. Finite Difference and Finite Volume Methods for Elliptic Equations. Novosibirsk, Institut matematiki, 2000, 345 p. (In Russ.).Исаев, Ю. Н. Методы расчета электромагнитных полей. Практика использования MathCAD, COMSOL Multiphysics / Ю. Н. Исаев, О. В. Васильева. - Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 162 с.Isaev Yu. N., Vasilyeva O. V. Metody rascheta elektromagnitnykh poley. Praktika ispol'zovaniya MathCAD, COMSOL Multiphysics. Methods for the Calculation of Electromagnetic Fields. Practice Using MathCAD, COMSOL Multiphysics. Saarbruchen, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012, 162 р. (In Russ).Pierrus, J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments / J. Pierrus. - Oxford : Oxford University Press, 2018. - 638 p. https://doi.org/10.1093/oso/9780198821915.001.0001Pierrus J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments. Oxford, Oxford University Press, 2018, 638 p. https://doi.org/10.1093/oso/9780198821915.001.0001Ташаев, Ю. Н. Моделирование электростатического поля тороид / Ю. Н. Ташаев // Успехи прикладной физики. - 2015. - Т. 3, № 2. - С. 126-132.Tashaev Yu. N. Modeling the electrostatic field of a toroid. Uspekhi prikladnoy fiziki [Advances in Applied Physics], 2015, vol. 3, no. 2, pp. 126-132 (In Russ).Duffy, D. G. Mixed Boundary Value Problems / D. G. Duffy. - N. Y. : Chapman & Hall/CRC, 2008. - 488 p. https://doi.org/10.1201/9781420010947Duffy D. G. Mixed Boundary Value Problems. New York, Chapman & Hall/CRC, 2008, 488 p. https://doi.org/10.1201/9781420010947Лебедев, Н. Н. Распределение электричества на тонком сферическом кольце / Н. Н. Лебедев, И. П. Скальская // ЖТФ. - 1982. - Т. 52, № 12. - С. 2325-2331.Lebedev N. N., Skalskaya I. P. Distribution of electricity on a thin spherical ring. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Technical Physics], 1982, vol. 52, no. 12, pp. 2325-2331 (In Russ.).Виноградов, С. С. К решению краевых задач теории потенциала для незамкнутых эллипсоидов вращения / С. С. Виноградов, Ю. А. Тучкин, В. П. Шестапалов // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1981. - № 12. - C. 47-51.Vinogradov S. S., Tuchkin Yu. A., Shestapalov V. P. On the solution of boundary value problems of potential theory for non-closed ellipsoids of revolution. Doklady Akademii nauk Ukrainskoj Sovetskoj Socialisticheskoj Respubliki. Serija A [Reports of the Academy of Sciences of the Ukrainian Soviet Socialist Republic. Serie A], 1981, no. 12, pp. 47-51 (In Russ.)Занадворов, Н. П. Электростатическая задача для полого усеченного конуса / Н. П. Занадворов // ЖТФ. - 1987. - Т. 57, № 4. - C. 634-638.Zanadvorov N. P. Electrostatic problem for a hollow truncated cone. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Technical Physics], 1987, vol. 57, no. 4, pp. 634-638 (In Russ.).Виноградов, С. С. Расчет электростатических полей проводников в форме сфероидальных оболочек с двумя круглыми отверстиями / С. С. Виноградов, Е. Д. Луценко // Электричество. - 1988. - № 2. - С. 52-55.Vinogradov S. S., Lutsenko E. D. Calculation of electrostatic fields of conductors in the form of spheroidal shells with two round holes. Elektrichestvo [Electricity], 1988, no. 2, pp. 52-55 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Методика решения электростатической задачи для тонкой незамкнутой сферической оболочки / Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 2010. - № 6. - С. 63-68.Shushkevich G. Ch. A technique for solving an electrostatic problem for a thin non-closed spherical shell. Elektrichestvo [Electricity], 2010, no. 6, pp. 63-68 (In Russ.).Collins, W. D. On some triple series equations and their application / W. D. Collins // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1962. - Vol. 11, no. 2. - P. 122-137.Collins W. D. On some triple series equations and their application. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 11, no. 2, pp. 122-137. https://doi.org/10.1007/BF00253935Ерофеенко, В. Т. Задача электростатики для двух тороидальных проводников / В. Т. Ерофеенко // ЖТФ. - 1986. - Т. 56, № 8. - C. 1641-1643.Erofeenko V. T. Electrostatic problem for two toroidal conductors. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Technical Physics], 1986, vol. 56, no. 8, pp. 1641-1643 (In Russ.).Sampath, C. Some electrostatic problems of two equal co-axial circular strips / C. Sampath, D. Jain // J. Math. and Phys. Sci. - 1991. - Vol. 25, no. 3. - P. 217-230.Sampath C., Jain D. Some electrostatic problems of two equal co-axial circular strips. Journal of Mathematical and Physical Sciences, 1991, vol. 25, no. 3, pp. 217-230.Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a torus placed in an infinite cylinder / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. - 2004. - Vol. 49, no. 5. - P. 540-544. https://doi.org/10.1134Z1.1758325Shushkevich G. Ch. Electrostatic problem for a torus placed in an infinite cylinder. Technical Physics, 2004, vol. 49, no. 5, pp. 540-544. https://doi.org/10.1134/1.1758325Шушкевич, Г. Ч. Моделирование полей в многосвязных областях в задачах электростатики / Г. Ч. Шушкевич. - Saarbruchen : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 228 c.Shushkevich G. Ch. Modelirovaniye poley v mnogosvyaznykh oblastyakh v zadachakh elektrostatiki. Modeling Fields in Multiply Connected Regions in Electrostatic Problems. Saarbruchen, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015, 228 p. (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Расчет емкости двух тонких сферических оболочек / Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 1984. - № 10. - С. 62-64.Shushkevich G. Ch. Calculation of the capacitance of two thin spherical shells. Elektrichestvo [Electricity], 1984, no. 10, pp. 62-64 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Электростатическое поле тонкой незамкнутой сферической оболочки и двух дисков / Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 1999. - № 6. - С. 28-34.Shushkevich G. Ch. Electrostatic field of a thin open spherical shell and two disks. Elektrichestvo [Electricity], 1999, no. 6, pp. 28-34 (In Russ.).Shushkevich, G. Ch. Electrostatic field of a flattened ellipsoid and disc between two thin open spherical shells / G. Ch. Shushkevich, S. V. Shushkevich // Electrical Technology. - 1996. - No. 1. - P. 89-99.Shushkevich G. Ch., Shushkevich S. V. Electrostatic field of a flattened ellipsoid and disc between two thin open spherical shells. Electrical Technology, 1996, no. 1, pp. 89-99.Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a torus and a disk / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. - 1997. - Vol. 42, no. 4. - P. 436-438. https://doi.org/10.1134Z1.1258698Shushkevich G. Ch. Electrostatic problem for a torus and a disk. Technical Physics, 1997, vol. 42, no. 4, pp. 436-438. https://doi.org/10.1134/1.1258698Shushkevich, G. Ch. Electrostatic field of a thin unclosed spherical shell and a torus / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. - 1998. - Vol. 43, no. 7. - P. 743-748. https://doi.org/10.1134/1.1259067Shushkevich G. Ch. Electrostatic field of a thin unclosed spherical shell and a torus. Technical Physics, 1998, vol. 43, no. 7, pp. 743-748. https://doi.org/10.1134/1.1259067Shushkevich, G. Ch. Electrostatic problem for a thin unclosed ellipsoidal shell and disk / G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. - 1999. - Vol. 44, no. 2. - P. 133-136. https://doi.org/10.1134/1.1259271Shushkevich G. Ch. Electrostatic problem for a thin unclosed ellipsoidal shell and disk. Technical Physics, 1999, vol. 44, no. 2, pp. 133-136. https://doi.org/10.1134Z1.1259271Шушкевич, Г. Ч. Электростатическое поле тонкой незамкнутой сферической и сфероидальной оболочек / Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 1997. - № 3. - С. 59-64.Shushkevich G. Ch. Electrostatic field of thin non-closed spherical and spheroidal shells. Elektrichestvo [Electricity], 1997, no. 3, pp. 59-64 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Моделирование поля элекростатического диполя в присутствии тонкой сплюснутой незамкнутой эллипсоидальной оболочки и плоскости / Г. Ч. Шушкевич // Информатика. - 2017. - № 2. - С. 14-23. https://doi.orgZ10.37661/1816-0301-2021-18-3-48-58Shushkevich G. Ch. Modeling the field of an electrostatic dipole in the presence of a thin oblate open ellipsoidal shell and plane. Informatika [Informatics], 2017, no. 2, pp. 14-23 (In Russ.). https://doi.org/10.37661/1816-0301-2021-18-3-48-58Nikolaev, O. Green's functions of the first and second boundary value problems foe the Laplace equation in the nonclassical domain / O. Nikolaev, O. Holovchenko, N. Savchenko // Radioelectronic and Computer Systems. - 2022. - No. 4. - P. 30-49. https://doi.org/10.32620/reks.2022.4.03Nikolaev O., Holovchenko O, Savchenko N. Green's functions of the first and second boundary value problems foe the Laplace equation in the nonclassical domain. Radioelectronic and Computer Systems, 2022, no. 4, pp. 30-49. https://doi.org/10.32620/reks.2022.4.03Лоскутников, В. С. Функция Грина и метод изображений в задачах электростатики / В. С. Лоскутников // Проблемы современной науки и образования. - 2021. - № 10(167). - С. 6-10.Loskutnikov V. S. Green's function and the image method in problems of electrostatics. Problemy sovremennoy nauki i obrazovaniya [Problems of Modern Science and Education], 2021, no. 10(167), pp. 6-10 (In Russ.).Majlic, M. Electrostatic T-matrix for a torus on bases of totoidal and spherical harmonics / M. Majlic // J. of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. - 2019. - Vol. 235. - P. 287-299. https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2019.07.010Majlic M. Electrostatic T-matrix for a torus on bases of totoidal and spherical harmonics. Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, 2019, vol. 235, pp. 287-299. https://doi.org/10.1016/jjqsrt.2019.07.010Ерофеенко, В. Т. Расчет электростатических полей в корпусе с отверстием методом граничных элементов / В. Т. Ерофеенко, Д. В. Комнатный // Информатика. - 2011. - № 2(30). - C. 48-55.Erofeenko V. Т., Komnatnyy D. V. Calculation of electrostatic fields in a housing with a hole by the boundary element method. Informatika [Informatics], 2011, no. 2(30), pp. 48-55 (In Russ.).Шушкевич, Г. Ч. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Ч. 2 / Г. Ч. Шушкевич, С. В. Шушкевич. - Минск : Изд-во Гревцова, 2012. - 256 с.Shushkevich G. Ch., Shushkevich S. V. Komp'yuternyye tekhnologii v matematike. Sistema Mathcad 14. Chast' 2. Computer Technologies in Mathematics. Mathcad 14. Part 2. Minsk, Izdatel'stvo Grevcova, 2012, 256 p. (In Russ.).Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами : пер. с англ. / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М. : Наука, 1979. - 830 с.In Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, 1965, 1046 p.Ерофеенко, В. Т. Теоремы сложения / В. Т. Ерофеенко. - Минск : Наука и техника, 1989. - 240 с.Erofeenko V. Т. Teoremy slozheniya. Addition Theorems. Minsk, Nauka i tekhnika, 1989, 240 p. (In Russ.).Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. - М. : Высшая школа, 2002. - 848 с.Verzhbitsky V. M. Osnovy chislennykh metodov. Fundamentals of Numerical Methods. Moscow, Vysshaya shkola, 2002, 848 p. (In Russ.).Петров, Ю. Обеспечение достоверности и надежности компьютерных расчетов / Ю. Петров. - СПб. : БХВ-Петербург, 2012. - 160 с.Petrov Yu. Obespecheniye dostovernosti i nadezhnosti komp'yuternykh raschetov. Ensuring the Reliability and Reliability of Computer Calculations. Saint Petersburg, BHV-Petersburg, 2012, 160 p. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.