Клименок Валентина Ивановна - доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории прикладного вероятностного анализа.
пр. Независимости, 4, Минск, 220030
Valentina I. Klimenok - D. Sc. (Phys.-Math.), Prof., Chief Researcher of Laboratory of Applied Probability, Belarusian State University.
Nezavisimosti av., 4, Minsk, 220030
Цели. Рассматривается задача построения и исследования математической модели стохастической системы с расщеплением и сборкой запросов. Требуется построить процесс функционирования системы, найти условие существования стационарного распределения, предложить алгоритмы его вычисления и основных стационарных характеристик производительности системы. Особый интерес вызывает задача получения нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запроса в системе.
Методы. Используются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории матриц.
Результаты. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Найдено конструктивное условие существования стационарного распределения, предложены алгоритмы его вычисления и стационарных характеристик производительности системы. Получены аналитические выражения для нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запросов в системе.
Заключение. Исследован стационарный режим функционирования системы массового обслуживания с расщеплением и сборкой запросов, поступающих в систему в стационарном пуассоновском потоке. Каждый из поступающих запросов расщепляется на два задания, которые идут в две подсистемы, состоящие из обслуживающего прибора и буфера. Времена обслуживания заданий имеют разные фазовые распределения (PH-Phase type distributions). Для данной системы найдено условие существования стационарного распределения, предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и ряда стационарных характеристик производительности системы. Получены аналитические выражения для нижней и верхней границ математического ожидания времени пребывания запроса в системе от момента его поступления в систему до момента синхронизации, которое является критическим показателем производительности системы с расщеплением и сборкой запросов.
Objectives. The problem of investigating a fork-join queuing system is considered. It is required to build the process of the system functioning, to find the condition for the existence of a stationary distribution, and propose algorithms for calculating the stationary distribution and the main stationary performance characteristics. The special interest of the study is to obtain the lower and upper bounds of the mean sojourn time of a customer in the system.
Methods. Methods of probability theory, queuing theory and matrix theory are used.
Results. The functioning of the system is described in terms of a multidimensional Markov chain. A constructive condition for the existence of a stationary distribution is found, and algorithms for calculating the stationary distribution and stationary performance characteristics of the system are proposed. Analytical expressions are obtained for the lower and upper bounds of the mean sojourn time of customers in the system.
Conclusion. The functioning of the fork-join queuing system with a stationary Poisson flow has been studied. Each of the arriving customers forks into two tasks that go to two subsystems, each of which consists of a server and a buffer. We assume that the buffer to one of the servers is unlimited, and to the second server has a finite volume. Service times have, generally speaking, different phase distributions (PH-Phase type distributions). For this system, a condition for the existence of a stationary distribution is obtained, algorithms for calculating the stationary distribution and a number of stationary performance measures of the system are proposed. Analytical expressions for the lower and upper bounds of the mean sojourn time of a customer in the system from the moment it enters the system to the moment of synchronization, which is a critical performance indicator of the fork-join queues, are obtained. The results of the study can be used for modeling various computer and communication systems, in particular, systems that perform parallel computing, customer processing in distributed databases, and parallel disk access.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.