informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2023-20-2-111-120inform-1237Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGРешение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в нерегулярных двумерных областяхSolution of the mixed boundary problem for the Poisson equation on two-dimensional irregular domainsЧуйкоМ. М.ChuikoM. M.

Чуйко Михаил Матвеевич, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела вычислительной математики

ул. Сурганова, 11, Минск, 220072

Mikhail M. Chuiko, Ph. D. (Phys.-Math.), Leading Researcher of the Department of Computational Mathematics

st. Surganova, 11, Minsk, 220072

mikhail.chuiko@gmail.comКоролёваО. М.KorolyovaO. M.

Королёва Ольга Михайловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

пр. Независимости, 65, Минск, 220013

Olga M. Korolyova, Ph. D. (Phys.-Math.), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics

av. Nezavisimosty, 65, Minsk, 220013

korolyovaola@gmail.comИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский национальный технический университетBelarusian National Technical University202329062023202111120Copyright © Чуйко М.М., Королёва О.М., 20232023Чуйко М.М., Королёва О.М.Chuiko M.M., Korolyova O.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1237

Цели. Построение конечно-разностного вычислительного алгоритма решения смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, заданной в нерегулярных двумерных областях.Методы. Для решения задачи используются обобщенные криволинейные координаты. Физическая область отображается в расчетную (единичный квадрат) в пространстве обобщенных координат. Исходная задача записывается в обобщенных криволинейных координатах и аппроксимируется на равномерной сетке в расчетной области. Полученные результаты отображаются на неравномерную разностную сетку, сгенерированную в физической области.Результаты. Построены аппроксимации второго порядка смешанных краевых условий Неймана – Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве обобщенных криволинейных координат. Для повышения порядка аппроксимаций условия Неймана используется аппроксимация уравнения Пуассона на границе области.Заключение. Для решения смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в нерегулярных двумерных областях построен вычислительный алгоритм второго порядка точности с использованием обобщенных криволинейных координат. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие второй порядок точности вычислительного алгоритма.

Objectives. A finite-difference computational algorithm is proposed for solving a mixed boundary-value problem for the Poisson equation given in two-dimensional irregular domains.Methods. To solve the problem, generalized curvilinear coordinates are used. The physical domain is mapped to the computational domain (unit square) in the space of generalized coordinates. The original problem is written in curvilinear coordinates and approximated on a uniform grid in the computational domain.The obtained results are mapped on non-uniform boundary-fitted difference grid in the physical domain.Results. The second order approximations of mixed Neumann-Dirichlet boundary conditions for the Poisson equation in the space of generalized curvilinear coordinate are constructed. To increase the order of Neumann condition approximations, an approximation of the Poisson equation on the boundary of the domain is used.Conclusions. To solve a mixed boundary value problem for the Poisson equation in two-dimensional irregular domains, the computational algorithm of second-order accuracy is constructed. The generalized curvilinear coordinates are used. The results of numerical experiments, which confirm the second order accuracy of the computational algorithm, are presented.

эллиптический операторсмешанные производныеобобщенные криволинейные координатыкраевая задача Неймана – Дирихлеконечно-разностные методыразностные схемыelliptic operatormixed derivativesgeneralized curvilinear coordinatesNeumann – Dirichlet boundary problemfinite-difference methodsdifference schemesReferencesФлетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : пер. с англ. / К. Флетчер. – М. : Мир, 1991. – 295 c.Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics 2. Springer, 1988, 494 p.Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1997. – 380 с.Samarskii A. A. Teorija raznostnyh shem. The Theory of Difference Schemes. Moscow, Nauka, 1997, 380 p.Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М. : Наука, 1976. – 352 с.Samarskii A. A., Andreev V. B. Raznostnye metody dlja elipticheskih uravnenij. Difference Methods for Elliptic Equations. Moscow, Nauka, 1976, 352 p. (In Russ.).Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.] // Математическое моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2. – С. 17–26.Samarskii A. A., Mazhukin V. I., Matus P. P, Shishkin G. I. Monotone difference schemes for equation with mixed derivatives. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulation], 2001, vol. 13, no. 2, pp. 17–26 (In Russ.).Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives / A. Samarskii [et al.] // Computers and Mathematics with Applications. – 2002. – Vol. 44. – P. 501–510. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00164-5Samarskii A., Matus P., Mazhukin V., Mozolevski I. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives. Computers and Mathematics with Applications, 2002, vol. 44, pp. 501–510. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(02)00164-5Matus, P. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives / P. Matus, I. Rybak // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2009. – Vol. 4, no. 4. – P. 494–505. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027Matus P., Rybak I. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives. Computational Methods in Applied Mathematics, 2009, vol. 4, no 4, pp. 494–505. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027Matus, P. Monotone and economical difference schemes on nonuniform grids for multidimensional parabolic equations with boundary condition of third kind / P. Matus, G. Martsynkevich // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2004. – Vol. 4, no. 3. – P. 350–367. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0019Matus P., Martsynkevich G. Monotone and economical difference schemes on nonuniform grids for multidimensional parabolic equations with boundary condition of third kind. Computational Methods in Applied Mathematics, 2004, vol. 4, no. 3, рр. 350–367. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0019Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions / F. J. Gaspar [et al.] // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2016. – Vol. 16, no. 2. – P. 231–244. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002Gaspar F. J., Lisbona F. J., Matus P., Tuyen V. T. K. Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions. Computational Methods in Applied Mathematics, 2016, vol. 16, no. 2, рр. 231–244. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002Schneider, G. E. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem / G. E. Schneider, M. Zedan // Numerical Heat Transfer. – 1981. – Vol. 4. – P. 1–19.Schneider G. E., Zedan M. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem. Numerical Heat Transfer, 1981, vol. 4, pp. 1–19.Волков, В. М. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Журнал Бел. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 1. – С. 69 –76. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-69-7Volkov V. M., Prokonina E. V. Iterative realization of finite difference schemes in the fictitious domain method for elliptic problems with mixed derivatives. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika [Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics], 2019, no. 1, pp. 69–76 (In Russ.). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-69-76

The authors declare that there are no conflicts of interest present.