informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2022-19-2-26-55inform-1195Research ArticleЛОГИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕLOGICAL DESIGNЭкспериментальное сравнение эффективности программ минимизации систем булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных формExperimental comparison of the effectiveness of programs for minimizing systems of Boolean functions in the class of disjunctive normal formsБибилоП. Н.BibiloP. N.

Бибило Петр Николаевич, доктор технических наук, профессор

ул. Сурганова, 6, Минск, 220012, Беларусь

Petr N. Bibilo, D. Sc. (Eng.), Professor

st. Surganova, 6, Minsk, 220012, Belarus

bibilo@newman.bas-net.byЛогиноваИ. П.LoginovaI. P.

Логинова Ирина Петровна, кандидат технических наук, доцент

ул. Сурганова, 6, Минск, 220012, Беларусь

Irina P. Loginova, Ph. D. (Eng.)

st. Surganova, 6, Minsk, 220012, Belarus

irilog@mail.ruОбъединенный институт проблем информатики Национальной академии наук БеларусиThe United Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus2022020320221922655Copyright © Бибило П.Н., Логинова И.П., 20222022Бибило П.Н., Логинова И.П.Bibilo P.N., Loginova I.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1195Цели

Цели. Методы, алгоритмы и программы решения задач минимизации дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) представлений булевых функций широко используются при проектировании цифровых систем для уменьшения сложности (площади кристаллов) функциональных комбинационных блоков, размещаемых в составе цифровых СБИС.

Целью работы является сравнение программ, входящих в отечественную систему FLC-2 логической оптимизации, с двумя широко известными и свободно распространяемыми зарубежными программами минимизации Espresso IIC и ABC.

Методы

Методы. Для сравнения программ использованы четыре набора примеров входных данных: широко известные примеры, на которых проверялась эффективность программы Espresso IIC, псевдослучайные системы ДНФ и два набора промышленных примеров из практики проектирования логических схем. Предложены программные средства для применения программ совместной минимизации при раздельной минимизации функций. Разработаны алгоритмы и программы распараллеливания вычислений при раздельной минимизации функций в классе ДНФ.

Результаты

Результаты. Выявлены области предпочтительного использования и время работы программ для исходных (минимизируемых) систем функций, характеризуемых большими значениями параметров (десятками аргументов и функций, десятками тысяч элементарных конъюнкций) и различными формами задания входных данных. Изучена эффективность применения программ минимизации для различных форм задания входных данных: ДНФ, ортогонализованных ДНФ, BDD-представлений систем функций, таблиц истинности и систем совершенных ДНФ.

Заключение

Заключение. Результаты экспериментов показывают эффективность параллельных программ. Они позволяют сокращать время вычислений и увеличивать размерности решаемых задач раздельной минимизации систем булевых функций.

Objectives

Objectives. Methods, algorithms and programs for solving problems of minimizing the DNF representations of Boolean functions are widely used in the design of digital systems to reduce the complexity (crystal area) of functional combinational blocks of digital systems placed into digital VLSI.

The objective of the work is experimental comparison of domestic programs for minimizing Boolean functions in the DNF class included in the FLC-2 with two well-known foreign freely distributed programs for minimizing DNF known as Espresso IIC and ABC.

Methods

Methods. Four sets sample of input data were used to compare the programs – there are widely known examples on which the effectiveness of the Espresso IIC program was tested and two sets of industrial examples from the practice of designing the logic circuits. Algorithms and programs for parallelization of calculations when separate functions of minimizing have been developed. Software tools for the application of joint minimization programs with separate minimization of functions are proposed.

Results

Results. The areas of preferred use and the execution time of programs for the source systems of functions (for minimization) characterized by large parameter values of dozens of arguments and functions, tens of thousands of elementary conjunctions are revealed. The efficiency of application of minimization programs for various forms of input data assignment is investigated – DNF, orthogonalized DNF, BDD (Binary Decision Diagrams) representations for systems of functions, truth tables and perfect DNF systems.

Conclusion

Conclusion. The experimental results show the effectiveness of parallel programs – reducing the calculation time and increasing the dimensions of solved problems of separate minimization of Boolean function systems.

система булевых функцийдизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)кратчайшая ДНФраздельная минимизация функцийкратчайшая система ДНФсовместная минимизация функцийBDD-представлениястандарт OpenMPsystem of Boolean functionsdisjunctive normal form (DNF)shortest DNFseparate minimization of functionsthe shortest DNF systemjoint minimization of functionsBinary Decision Diagram (BDD)OpenMP standardReferencesQuine, W. V. The problem of simplifying of truth functions / W. V. Quine // The American Mathematical Monthly. – 1952. – Vol. 59, no. 8. – P. 521–531.Quine W. V. The problem of simplifying of truth functions. The American Mathematical Monthly, 1952, vol. 59, no. 8, pp. 521–531.McCluskey, E. J. Minimization of Boolean functions / E. J. McCluskey // The Bell System Technical J. – 1956. – Vol. 35, no. 6. – P. 1417–1444.McCluskey E. J. Minimization of Boolean functions. The Bell System Technical Journal, 1956, vol. 35, no. 6, pp. 1417–1444.Закревский, А. Д. ДНФ-реализация частичных булевых функций многих переменных / А. Д. Закревский, Н. Р. Торопов, В. И. Романов // Информатика. – 2010. – № 1(25). – С. 102–111.Zakrevskij A. D., Toropov N. R., Romanov V. I. DNF-implementation of partial Boolean functions of many variables. Informatika [Informatics], 2010, no. 1(25), pp. 102–111 (In Russ.).Сапоженко, А. А. Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм / А. А. Сапоженко, И. П. Чухров // Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. – 1987. – Т. 25. – C. 68–116.Sapozhenko A. A., CHuhrov I. P. Minimization of Boolean functions in the class of disjunctive normal forms. Itogi nauki i tekhniki. Teoriya veroyatnostej. Matematicheskaya statistika. Teoreticheskaya kibernetika, [Results of Science and Technology. Probability Theory. Mathematical Statistics. Theoretical Cybernetics], 1987, vol. 25, pp. 68–116 (In Russ.).Брейтон, Р. К. Синтез многоуровневых комбинационных логических схем / Р. К. Брейтон, Г. Д. Хэчтел, А. Л. Санджованни-Винчентелли // ТИИЭР. – 1990. – Т. 78, № 2. – С. 38–83.Brayton R. K., Hachtel G. D., Sangiovanni-Vincentelli A. L. Synthesis of multi-level combinational logic circuits. Trudy Institute inzhenerov po jelektronike i radiotehnike [Proceedings of the Institute of Electronics and Radio Engineering], 1990, vol. 78, no. 2, рр. 38–83 (In Russ.).Закревский, А. Д. Логический синтез каскадных схем / А. Д. Закревский. – М. : Наука, 1981. – 416 c.Zakrevskij A. D. Logicheskij sintez kaskadnyh skhem. Logical Synthesis of Cascading Circuit. Moscow, Nauka, 1981, 416 р. (In Russ.).Бибило, П. Н. Применение диаграмм двоичного выбора при синтезе логических схем / П. Н. Бибило. – Минск : Беларус. навука, 2014. – 231 с.Bibilo P. N. Primenenie diagram dvoichnogo vybora pri sinteze logicheskih shem. Application of Binary Decision Diagrams in the Synthesis of Logic Circuits. Minsk, Belaruskaja navuka, 2014, 231 p. (In Russ.).Авдеев, Н. А. Эффективность логической оптимизации при синтезе комбинационных схем из библиотечных элементов / Н. А. Авдеев, П. Н. Бибило // Микроэлектроника. – 2015. – Т. 44, № 5. – С. 383–399.Avdeev N. A., Bibilo P. N. Logical optimization efficiency in the synthesis of combinational circuits. Mikroelektronika [Microelectronics], 2015, vol. 44, no. 5, рр. 383–399 (In Russ.).Бибило, П. Н. Система логической оптимизации функционально-структурных описаний цифровых устройств на основе продукционно-фреймовой модели представления знаний / П. Н. Бибило, В. И. Романов // Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем. – 2020. – Вып. 4. – С. 9–16.Bibilo P. N., Romanov V. I. The system of logical optimization of functional structural descriptions of digital circuits based on production-frame knowledge representation model. Problemy razrabotki perspektivnyh mikro- i nanoelektronnyh system [Problems of Developing Promising Micro- and Nanoelectronic Systems], 2020, iss. 4, pp. 9–16 (In Russ.).Леончик, П. В. Минимизация систем булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм / П. В. Леончик // Информатика. – 2006. – № 1(9). – С. 88–96.Leonchik P. V. Minimization of Boolean function systems in the class of disjunctive normal forms. Informatika [Informatics], 2006, no. 1(9), pp. 88–96 (In Russ.).Logic Minimization Algorithm for VLSI Synthesis / K. R. Brayton [et al.]. – Boston : Kluwer Academic Publishers, 1984. – 193 p.Brayton K. R., Hachtel G. D., McMullen C., Sangiovanni-Vincentelli A. L. Logic Minimization Algorithm for VLSI Synthesis. Boston, Kluwer Academic Publishers, 1984, 193 p.Rudell, R. Multiple-valued minimization for PLA optimization / R. Rudell, A. L. Sangiovanni-Vincentelli // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. – 1987. – Vol. CAD-6, no. 5. – P. 727–751.Rudell R., Sangiovanni-Vincentelli A. L. Multiple-valued minimization for PLA optimization. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 1987, vol. CAD-6, no. 5, pp. 727–751.McGeer, P. Espresso-signature: A new exact minimizer for logic functions / P. McGeer, A. L. Sangiovanni-Vincentelli // IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. – 1993. – Vol. 1, no. 4. – P. 618–624.McGeer P., Sangiovanni-Vincentelli A. L. Espresso-signature: A new exact minimizer for logic functions. IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems, 1993, vol. 1, no. 4, pp. 618–624.Гольдберг, Е. И. Метод сбрасывания решения с локального минимума при минимизации интервального покрытия / Е. И. Гольдберг. – Минск : Ин-т техн. кибернетики АН Беларуси, 1991. – 18 с. (Препринт № 13).Gol'dberg E. I. Metod sbrasyvaniya resheniya s lokal'nogo minimuma pri minimizacii interval'nogo pokrytiya. The Method of Resetting the Solution from the Local Minimum While Minimizing the Interval Coverage. Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Akademii nauk Belarusi, 1991, 18 p. (Preprint no. 13) (In Russ.).Mishchenko, A. An Introduction to Zero-Suppressed Binary Decision Diagrams / A. Mishchenko. – Berkeley : University of California, 2014. – 15 p.Mishchenko A. An Introduction to Zero-Suppressed Binary Decision Diagrams. Berkeley, University of California, 2014, 15 p.Карпов, Ю. Г. Model checking. Верификация параллельных и распределенных программных систем / Ю. Г. Карпов. – СПб. : БХВ-Петербург, 2010. – 560 с.Karpov Y. G. Model checking. Verifikaciya parallel'nyh i raspredelennyh programmnyh system. Model Checking. Verification of Parallel and Distributed Software Systems. Saint Petersburg, BHV-Peterburg, 2010, 560 p. (In Russ.).Леончик, П. В. Алгоритм покрытия разреженных булевых матриц / П. В. Леончик // Информатика. – 2007. – № 2(14). – С. 53–61.Leonchik P. V. Algorithm of sparse Boolean matrix covering. Informatika [Informatics], 2007, no. 2(14), pp. 53–61 (In Russ.).Торопов, Н. Р. Минимизация систем булевых функций в классе ДНФ / Н. Р. Торопов // Логическое проектирование : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1999. – Вып. 4. – С. 4–19.Toropov N. R. Minimization of systems of Boolean functions in the class DNF. Logicheskoe proektirovanie [Logical Design]. Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 1999, iss. 4, рр. 4–19 (In Russ.).Торопов, Н. Р. Приближенный алгоритм минимизации систем слабоопределенных булевых функций / Н. Р. Торопов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. – 1969. – № 1. – C. 72–78.Toropov N. R. An approximate algorithm for minimizing systems of weakly defined Boolean functions. Izvestija Akademii nauk SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Technical cybernetics], 1969, no. 1, pp. 72–78 (In Russ.).Романов, В. И. Булевы векторы и матрицы в С++ / В. И. Романов, И. В. Василькова // Логическое проектирование : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1997. – Вып. 2. – С. 150–158.Romanov V. I., Vasil'kova I. V. Boolean vectors and matrices in C++. Logicheskoe proektirovanie [Logical Design]. Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 1997, iss. 2, pp. 150–158 (In Russ.).Черемисинов, Д. И. Троичные векторы и матрицы в С++ / Д. И. Черемисинов, Л. Д. Черемисинова // Логическое проектирование : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1998. – Вып. 3. – С. 146–156.Cheremisinov D. I., Cheremisinova L. D. Ternary vectors and matrices in C++. Logicheskoe proektirovanie [Logical Design]. Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 1998, iss. 3, pp. 146–156 (In Russ.).Бибило, П. Н. Логическое проектирование дискретных устройств с использованием продукционно-фреймовой модели представления знаний / П. Н. Бибило, В. И. Романов. – Минск : Беларус. навука, 2011. – 279 с.Bibilo P. N., Romanov V. I. Logicheskoe proektirovanie diskretnyh ustrojstv s ispol'zovaniem produkcionno-frejmovoj modeli predstavlenija znanij. Logical Design of Discrete Devices with Use of Productional and Frame Model of Representation of Knowledge. Minsk, Belaruskaja navuka, 2011, 279 p. (In Russ.).Закревский, А. Д. Генераторы псевдослучайных логико-комбинаторных объектов в С++ / А. Д. Закревский, Н. Р. Торопов // Логическое проектирование : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1999. – Вып. 4. – С. 49–63.Zakrevskij A. D., Toropov N. R. Generators of pseudorandom logical-combinatorial objects in C++. Logicheskoe proektirovanie [Logical Design], Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 1999, iss. 4, pp. 49–63 (In Russ.).Кардаш, С. Н. Ортогонализация системы ДНФ булевых функций / С. Н. Кардаш // VII Междунар. науч.-практ. конф. «BIG DATA and Advanced Analytics» (BIG DATA 2021) : материалы междунар. науч. конф., Минск, Беларусь, 19–20 мая 2021 г. – Минск : БГУИР, 2021. – C. 26–30.Kardash S. N. Orthogonalization of the DNF system of Boolean functions. VII Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferenciya "BIG DATA and Advanced Analytics" (BIG DATA 2021) : materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, Minsk, Belarus, 19–20 maya 2021 g. [VII International Scientific and Practical Conference "BIG DATA and Advanced Analytics" (BIG DATA 2021) : Materials of the International Scientific Conference, Minsk, Belarus, 19–20 May 2021]. Minsk, Belorusskij gosudarstvennyj universitet informatiki i radiojelektroniki, 2021, pp. 26–30 (In Russ.).Торопов Н. Р. Преобразование многоярусной комбинационной сети в двухъярусную / Н. Р. Торопов // Логическое проектирование : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 2000. – Вып. 5. – С. 4–14.Toropov N. R. Transformation of a multi-level combinational network into a two-level one. Logicheskoe proektirovanie [Logical Design], Minsk, Institut tehnicheskoj kibernetiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 2000, iss. 5, pp. 4–14 (In Russ.).Williams, A. C++ Concurrency in Action: Practical Multithreading / A. Williams. – Manning Publications, 2012. – 528 p.Williams A. C++ Concurrency in Action: Practical Multithreading. Manning Publications, 2012, 528 p.Darryl, G. Multicore Application Programming: for Windows, Linux, and Oracle Solaris / G. Darryl. – Addison-Wesley, 2010. – 480 p.Darryl G. Multicore Application Programming: for Windows, Linux, and Oracle Solaris. Addison-Wesley, 2010, 480 p.The design of OpenMP tasks / E. Ayguade [et al.] // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. – 2009. – Vol. 20, no. 3. – P. 404 –418.Ayguade E., Copty N., Duran A., Hoeflinger J., Lin Y., …, Zhang G. The design of OpenMP tasks. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2009, vol. 20, no. 3, pp. 404–418.Шлее, М. Qt 5.10. Профессиональное программирование на С++ / М. Шлее. – СПб. : БХВ-Петербург, 2018. – 1072 с.SHlee M. Qt 5.10. Professional'noe programmirovanie na S++. Qt 5.10. Professional programming in C++. Saint Petersburg, BHV-Peterburg, 2018, 1072 p.Fišer, P. A fast SOP minimizer for logic functions described by many product terms / P. Fišer, D. Toman // Proc. of 12th Euromicro Conf. on Digital Systems Design (DSD'09), Patras, 27–29 Aug. 2009. – Patras, 2009. – P. 757–764.Fišer P., Toman D. A fast SOP minimizer for logic functions described by many product terms. Proceedings of 12th Euromicro Conference on Digital Systems Design, Patras, 27–29 August 2009. Patras, 2009, pp. 757–764.Fišer, P. Two-level Boolean minimizer BOOM-II / P. Fišer, H. Kubatova // Proc. of the 6th Intern. Workshop on Boolean Problems (IWSBP'04), Freiberg, Germany, 23–24 Sept. 2004. – Freiberg, 2004. – P. 221–228.Fišer P., Kubatova H. Two-Level Boolean minimizer BOOM-II. Proceedings of the 6th International Workshop on Boolean Problems (IWSBP'04), Freiberg, Germany, 23–24 September 2004. Freiberg, 2004, pp. 221–228.Hlavicka, J. BOOM – a heuristic Boolean minimizer / J. Hlavicka, P. Fiser // Computers and Information. – 2003. – Vol. 22, no. 1. – P. 19–51.Hlavicka J., Fišer P. BOOM – a heuristic Boolean minimizer. Computers and Information, 2003, vol. 22, no. 1, pp. 19–51.Fišer, P. Flexible two-level Boolean minimizer BOOM-II and its applications / P. Fišer, H. Kubatova // Proc. of 9th Euromicro Conf. on Digital System Design (DSD’06), Washington, USА, 30 Aug. – 1 Sept. 2006. – Washington, 2006. – P. 369–376.Fišer P., Kubatova H. Flexible two-level Boolean minimizer BOOM-II and its applications. Proceedings of 9th Euromicro Conference on Digital System Design (DSD’06), Washington, US, 30 August – 1 September 2006. Washington, 2006, pp. 369–376.Fišer, P. FC-Min: A fast multi-output Boolean minimizer / P. Fišer, J. Hlavička, H. Kubatova // Proc. Euromicro Symp. on Digital Systems Design (DSD'03), Belek-Antalya, Turkey, 3–5 Sept. 2003. – Belek-Antalya, 2003. – P. 451–454.Fišer P., Hlavička J., Kubatova H. FC-Min: A fast multi-output Boolean minimizer. Proceedings Euromicro Symposium on Digital Systems Design (DSD'03), Belek-Antalya, Turkey, 3–5 September 2003. Belek-Antalya, 2003, pp. 451-454.Coudert, O. Doing two-level logic minimization 100 times faster / O. Coudert // Discrete Algorithms : Proc. of the Sixth Annual ACM-SIAM Symp., San Francisco, California, USA, 21 Jan. 1995. – San Francisco, 1995. – P. 112–121.Coudert O. Doing two-level logic minimization 100 times faster. Discrete Algorithms: Proceedings of the Sixth Annual ACM-SIAM Symposium, San Francisco, California, USA, 21 January 1995. San Francisco, 1995, pp. 112–121.Mishchenko, A. Large-scale SOP minimization using decomposition and functional properties / A. Mishchenko, T. Sasao // Proc. of the 40th Design Automation Conf. (DAC 2003), Anaheim, California, 2–6 June 2003. – Anaheim, 2003. – P. 149–154.Mishchenko A., Sasao T. Large-scale SOP minimization using decomposition and functional properties. Proceedings of the 40th Design Automation Conference (DAC 2003), Anaheim, California, 2–6 June 2003. Anaheim, 2003, pp. 149–154.Sapra, S. SAT-based algorithms for logic minimization / S. Sapra, M. Theobald, E. Clarke // Proc. 21st Intern. Conf. on Computer Design, San Jose, California, 13–15 Oct. 2003. – San Jose, 2003. – P. 510–517.Sapra S., Theobald M., Clarke E. SAT-based algorithms for logic minimization. Proceedings 21st International Conference on Computer Design, San Jose, California, 13–15 October 2003. San Jose, 2003, pp. 510–517.Ashmouni, E. F. Espresso for rule mining / E. F. Ashmouni, R. Ramadan, A. A. Rashed // The 5th Intern. Conf. on Ambient Systems, Networks and Technologies (ANT–2014), Hasselt, Belgium, 2–5 June 2014. – Hasselt, 2014. – P. 596–603.Ashmouni E. F., Ramadan R. A., Rashed A. A. Espresso for rule mining. The 5th International Conference on Ambient Systems, Networks and Technologies (ANT-2014), Hasselt, Belgium, 2–5 June 2014. Hasselt, 2014, pp. 596–603.Смагин, А. А. Применение методов минимизации булевых функций для оптимизации цифровых устройств / А. А. Смагин, А. В. Шиготаров // Изв. Самарск. науч. центра РАН. – 2009. – Т. 11, № 3(2). – С. 343–349.Smagin A. A., SHigotarov A. V. Application of Boolean function minimization methods to optimize digital devices. Izvestiya Samarskogo nauchnogo centra Rossijskoj akademii nauk [Proceedings of the Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2009, vol. 11, no. 3(2), pp. 343–349.Закревский, А. Д. Вычисления в многомерном булевом пространстве / А. Д. Закревский. – Минск : ОИПИ НАН Беларуси, 2011. – 106 с.Zakrevskij A. D. Vychisleniya v mnogomernom bulevom prostranstve. Computations in a Multidimensional Boolean Space. Minsk, Ob"edinjonnyj institut problem informatiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 2011, 106 p. (In Russ.).Поттосин, Ю. В. Метод минимизации системы полностью определенных булевых функций / Ю. В. Поттосин, Н. Р. Торопов, Е. А. Шестаков // Информатика. – 2008. – № 2(18). – C. 102–110.Pottosin Y. V., Toropov N. R., Shestakov E. A. A method for minimizing a system of completely specified Boolean functions. Informatika [Informatics], 2008, no. 2(18), pp. 102–110 (In Russ.).Поттосин, Ю. В. Метод минимизации системы не полностью определенных булевых функций / Ю. В. Поттосин, Н. Р. Торопов, Е. А. Шестаков // Информатика. – 2009. – № 3(23). – C. 16–26.Pottosin Y. V., Toropov N. R., Shestakov E. A. A method for minimizing the system of incompletely specified Boolean functions. Informatika [Informatics], 2009, no. 3(23), pp. 16–26 (In Russ.).Черемисинов, Д. И. Сравнение двух программ минимизации булевых функций / Д. И. Черемисинов // Автоматизация проектирования дискретных систем (CAD DD’10) : материалы Седьмой Междунар. конф., Минск, 16–17 нояб. 2010 г. – Минск : ОИПИ НАН Беларуси, 2010. – С. 194–200.Cheremisinov D. I. Comparison of two Boolean function minimization programs. Avtomatizaciya proektirovaniya diskretnyh sistem (CAD DD’10): materialy Sed'moj Mezhdunarodnoj konferencii, Minsk, 16–17 noyabrya 2010 g. [Discrete Systems Design Automation (CAD DD'10): Proceedings of the Seventh International Conference, Minsk, 16–17 November 2010], Minsk, Ob"edinjonnyj institut problem informatiki Nacional'noj akademii nauk Belarusi, 2010, pp. 194–200.Модификация метода минимизации булевых функций для мультиядерной INTEL-архитектуры / С. В. Михтонюк [и др.] // Радиоэлектроника и информатика. – 2007. – № 3. – С. 50–55.Mihtonyuk S. V., Davydov M. D., Kuznecov E. S., Parfentij A. N. Modification of the Boolean function minimization method for multi-core INTEL architecture. Radioelektronika i informatika [Radio Electronics and Computer Science], 2007, no. 3, pp. 50–55 (In Russ.).Alharbi, E. Truth graph: A novel method for minimizing Boolean algebra expressions by using graphs / E. Alharbi // Proc. 11th Intern. Conf. on the Theory and Application of Diagrams (Diagrams 2020), Tallinn, Estonia, 24–28 Aug. 2020. – Tallinn, 2020. – P. 461–469.Alharbi E. Truth graph: A novel method for minimizing Boolean algebra expressions by using graphs. Proceedings 11th International Conference on the Theory and Application of Diagrams (DIAGRAMS 2020), Tallinn, Estonia, 24–28 August 2020. Tallinn, 2020, pp. 461–469.Михеева, Е. А. Минимизация булевых функций геометрическим методом / Е. А. Михеева, А. Ф. Еникеева // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика и информационные технологии. – 2018. – № 1. – С. 72–82.Miheeva E. A., Enikeeva A. F. Minimization of Boolean functions by the geometric method. Uchenye zapiski Ul'janovskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija Matematika i informacionnye tehnologii [Scientific notes of Ulyanovsk State University. Series Mathematics and Information Technology], 2018, no. 1, pp. 72–82.Riznyk, V. Minimization of Boolean functions by combinatorial method / V. Riznyk, M. Solomko // Technology audit and production reserves. Information and Control Systems. – 2017. – Vol. 4, no. (36). – P. 49–64.Riznyk V., Solomko M. Minimization of Boolean functions by combinatorial method. Technology Audit and Production Reserves. Information and Control Systems, 2017, vol. 4, no. 2(36), pp. 49–64.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.