informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2021-18-3-48-58inform-1147Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGАналитическое решение задачи экранирования низкочастотного магнитного поля тонкостенным цилиндрическим экраном в присутствии цилиндраAnalytical solution of problem of shielding low-frequency magnetic field by thin-walled cylindrical screen in presence of cylinderШушкевичГ. Ч.ShushkevichG. Ch.

Шушкевич Геннадий Чеславович - доктор физикоматематических наук, профессор кафедры современных технологий программирования.

Ул. Ожешко, 22, Гродно, 230023

Gennady Ch. Shushkevich - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor of Modern Programming Technologies Department.

St. Ozheshko, 22, Grodno, 230023

gsys@grsu.byГродненский государственный университет им. Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno2021300920211834858Copyright © Шушкевич Г.Ч., 20212021Шушкевич Г.Ч.Shushkevich G.C.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1147

Построено аналитическое решение граничной задачи, описывающей процесс проникновения низкочастотного магнитного поля через тонкостенный цилиндрический экран в присутствии цилиндра, с использованием приближенных граничных условий. Источником поля является тонкая нить бесконечно малой длины с бесконечно малым поперечным сечением, по которой циркулирует ток. Нить расположена в плоскости, перпендикулярной оси цилиндрического экрана, во внешней области по отношению к экрану. Первоначально потенциал исходного магнитного поля был представлен в виде сферических гармонических функций, затем с помощью теорем сложения, связывающих сферические и цилиндрические гармонические функции, стал представлен в виде суперпозиции цилиндрических гармонических функций. Вторичные потенциалы магнитного поля также представлены в виде суперпозиции цилиндрических гармонических функций в трехмерном пространстве. Показано, что решение поставленной граничной задачи сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов, входящих в представление вторичных полей. Численно исследовано влияние некоторых параметров задачи на значение коэффициента экранирования внешнего магнитного поля при прохождении через цилиндрический экран из меди в присутствии цилиндра. Результаты вычислений представлены в виде графиков. Полученные результаты могут быть использованы для экранирования технических устройств и биологических объектов от воздействия магнитных полей и обеспечения экологической среды вокруг работающих электроустановок и устройств.

The analytical solution of boundary value problem describing the process of penetration of low-frequency magnetic field through thin-walled cylindrical screen with cylindrical inclusion is constructed by use of approximate boundary conditions. The source of the field is a thin thread of infinitely small length with an infinitely small cross-section where current circulates. Thread is located in a plane which is perpendicular to axis of cylindrical screen, in outer region with respect to a screen. Initially the potential of initial magnetic field is represented as spherical harmonic functions, then using addition theorems connecting spherical and cylindrical harmonic functions, it became as cylindrical harmonic functions superposition. Secondary potentials of magnetic field are also presented as superposition of cylindrical harmonic functions in three-dimensional space. It is shown that the solution of formulated boundary value problem is reduced to the solution of linear algebraic equations system for coefficients included in the representation of secondary fields. The influence of some aspects of the problem on the value of the screening coefficient of an external magnetic field when passing through a cylindrical copper screen in the presence of a cylindrical inclusion is studied numerically. Calculation results are presented in graphs form. Obtained results can be used to shield technical devices and biological objects against the effects of magnetic fields to provide ecological surrounding of operating electrical installations and devices.

граничная задачапотенциалмагнитное полетонкостенный цилиндрический экрантеоремы сложениягармонические функцииboundary value problempotentialmagnetic fieldthin-walled cylindrical screenaddition theoremsharmonic functionsРабота выполнялась в рамках подпрограммы «Математические модели и методы» ГПНИ «Конвергенция 2025»The work was carried out within the framework of the "Mathematical Models and Methods" subprogram of the State Pedagogical Research Institute "Convergence 2025"ReferencesКечиев, Л. Н. Экранирование радиоэлектронной аппаратуры. Инженерное пособие / Л. Н. Кечиев. -М. : Грифон, 2019. - 720 с.Kechiev L. N. Ekranirovanie radioelektronnoi apparatury. Inzhenernoe posobie. Shielding of Electronic Equipment. Engineering Manual. Moscow, Grifon, 2019, 720 p. (In Russ.).Makarov, S. N. Low-Frequency Electromagnetic Modeling for Electrical and Biological Systems Using MATLAB / S. N Makarov, G. M. Noetscher, A. Nazarian. - New Jersey : Wiley, 2015. - 616 p.Makarov S. N., Noetscher G. M., Nazarian A. Low-Frequency Electromagnetic Modeling for Electrical and Biological Systems Using MATLAB. New Jersey, Wiley, 2015, 616 p.Дмитриев, В. И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. - М. : МАКС Пресс, 2008. - 316 с.Dmitriev V. I., Zakharov E. V. Metod integral'nykh uravnenii v vychislitel'noi elektrodinamike. The Method of Integral Equations in Computational Electrodynamics. Moscow, MAKS Press, 2008, 316 р. (In Russ.).Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / B. П. Ильин. - Новосибирск : Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2000. - 345 с.Ilyin V. P. Metody konechnykh raznostei i konechnykh ob"emov dlia ellipticheskikh uravnenii. Finite Difference and Finite Volume Methods for Elliptic Equations. Novosibirsk, Institut matematiki imeni S. L. Soboleva Sibirskogo otdelenija Rossijskoj akademii nauk, 2000, 345 p. (In Russ.).Pierrus, J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments / J. Pierrus. - Oxford : Oxford University Press, 2018. - 638 p. https://doi.org/10.1093/oso/9780198821915.001.0001Pierrus J. Solved Problems in Classical Electromagnetism: Analytical and Numerical Solutions with Comments. Oxford, Oxford University Press, 2018, 638 p. https://doi.org/10.1093/oso/9780198821915.001.0001Шушкевич, Г. Ч. Моделирование полей в многосвязных областях в задачах электростатики / Г. Ч. Шушкевич. - Saarbruchen : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. - 228 c.Shushkevich G. Ch. Modelirovanie polei v mnogosvyaznykh oblastyakh v zadachakh elektrostatiki. Modeling Fields in Multiply Connected Domains in Electrostatic Problems. Saarbruchen, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015, 228 р. (In Russ.).Erofeenko, V. T. Shielding of a low-frequency electric field by a multilayer circular disk / V. T. Erofeenko, G. H. Shushkevich // Technical Physics. - 2013. - Vol. 58, no. 6. - P. 866-871. https://doi.org/10.1134/1.1562255Erofeenko V. T., Shushkevich G. H. Shielding of a low-frequency electric field by a multilayer circular disk. Technical Physics, 2013, vol. 58, no. 6, pp. 866-871. https://doi.org/10.1134/L1562255Шушкевич, Г. Ч. Проникновение низкочастотного магнитного поля через плоский слой со сфероидальным включением, тонкостенными слоями / Г. Ч. Шушкевич, А. И. Куц // Весшк Гродз. дзярж. ушверсггэта. Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Шфарматыка, вьшчальная тэхшка i шраванне. - 2012. - № 3. - C. 45-52.Shushkevich G. Ch., Kuts A. I. Penetration of a low-frequency magnetic field through a flat layer with a spheroidal inclusion, thin-walled layers. Vesnik Grodzenskaga dzyarzhaynaga yniversiteta. Ser. 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal'naya tekhnika i kiravanne [Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Engineering and Management], 2012, no. 3. pp. 45-52 (In Russ.).Ерофеенко, В. Т. Экранирование низкочастотного электрического поля тонкостенной незамкнутой сферической оболочкой с учетом емкостных свойств / В. Т. Ерофеенко, Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 2011. - № 6. - С. 57-61.Erofeenko V. T., Shushkevich G. Ch. Shielding of a low-frequency electric field by a thin-walled open spherical cover taking into account capacitive properties. Elektrichestvo [Electricity], 2011, no. 6, pp. 57-61 (In Russ.).Erofeenko, V. T. Screening of low-frequency magnetic fields by an open thin-wall spherical shell / V. T. Erofeenko, I. S. Kozlovskaya, G. Ch. Shushkevich // Technical Physics. - 2010. - Vol. 55, no. 9. - P. 1240-1247. https://doi.org/10.1134/S1063784210090021Erofeenko V. T., Kozlovskaya I. S., Shushkevich G. Ch. Screening of low-frequency magnetic fields by an open thin-wall spherical shell. Technical Physics, 2010, vol. 55, no 9, pp. 1240-1247. https://doi.org/10.1134/S1063784210090021Аполлонский, С. М. Экранирование низкочастотного магнитного поля / С. М. Аполлонский, Г. Ч. Шушкевич // Электричество. - 2005. - № 4. - С. 57-61.Apollonskii, S. M., Shushkevich G. Ch. Low frequency magnetic field shielding. Elektrichestvo [Electricity], 2005, no. 4, pp. 57-61 (In Russ.).Глушцов, А. И. Численное исследование усредненных граничных условий для тонких цилиндрических электромагнитных оболочек / А. И. Глушцов, В. Т. Ерофеенко // Вес. aкад. навук Беларусь Сер. фiз.-мат. навук. - 1996. - № 4. - С. 110-114.Glushtsov A. I., Erofeenko V. T. Numerical study of averaged boundary conditions for thin cylindrical electromagnetic shells. Vestsi akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk [Proceedings of the Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series], 1996, no. 4, pp. 110-114 (In Russ.).Ерофеенко, В. Т. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для моделирования магнитных полей в цилиндрических пленочных оболочках / В. Т. Ерофеенко, Г. Ф. Громыко, Г. М. Заяц // Дифференциальные уравнения. - 2017. - T. 53, № 7. - С. 962-975. https://doi.org/10.1134/S037406411707010XErofeenko V. T. Gromyko G. F., Zayats G. M. Boundary value problems with integral boundary conditions for modeling magnetic fields in cylindrical film shells. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 2017, vol. 53, no. 7, pp.' 962-975 (In Russ.). https://doi.org/10.1134/S037406411707010XЩербинин, А. Г. Численное исследование эффективности цилиндрического электромагнитного экрана / А. Г. Щербинин, А. С. Мансуров // Электротехника. - 2017. - № 11. - С. 33-37.Shcherbinin A. G., Mansurov A. S. Numerical study of the efficiency of a cylindrical electromagnetic shield. Elektrotekhnika [Electrical engineering], 2017, no. 11, pp. 33-37 (In Russ.).Johansson, R. Numerical Python: Scientific Computing and Data Science Applications with Numpy, SciPy and Matplotlib / R. Johansson. - N. Y. : Apress, 2019. - 700 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4842-4246-9Johansson R. Numerical Python: Scientific Computing and Data Science Applications with Numpy, SciPy and Matplotlib. New York, Apress, 2019, 700 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4842-4246-9Аполлонский, С. М. Эквивалентные граничные условия в электродинамике / С. М. Аполлонский, В. Т. Ерофеенко. - СПб. : Безопасность, 1999. - 416 с.Apollonsky S. M., Erofeenko V. T. Ekvivalentnye granichnye usloviia v elektrodinamike. Equivalent Boundary Conditions in Electrodynamics. Saint Petersburg, Bezopasnost', 1999, 416 p. (In Russ.).Теоретические основы электротехники : в 3 т. / К. С. Демирчян [и др.]. - СПб. : Питер, 2003. -Т. 3. - 377 с.Demirchyan K. S., Neiman L. R., Korovkin N. V., Chechurin V. L. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki : v 3 tomah. Theoretical Foundations of Electrical Engineering : in 3 volumes. Saint Petersburg, Piter, 2003, vol. 3, 377 p. (In Russ.).Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / под ред. М. Аб-рамовица, И. Стиган. - М. : Наука, 1979. - 830 с.In Abramovitz M., Stigan I. (eds.). Spravochnik po spetsial'nym funktsiiam s formulami, grafikami i tablitsami. Handbook of Special Functions with Formulas, Graphs and Tables. Moscow, Nauka, 1979, 830 p. (In Russ.).Ерофеенко, В. Т. Теоремы сложения / В. Т. Ерофеенко. - Минск : Наука и техника, 1989. - 240 с.Erofeenko V. Т. Teoremy slozheniya. Addition Theorems. Minsk, Nauka i tekhnika, 1989, 240 p. (In Russ.).Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. - М. : Высшая школа, 2002. -848 с.Verzhbitsky V. M. Osnovy chislennykh metodov. Fundamentals of Numerical Methods. Moscow, Vysshaya shkola, 2002, 848 p. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.