informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2020-17-3-7-24inform-1064Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМоделирование и нелинейный анализ хаотических волновых процессов в электрохимически активных нейроновых средах на основе матричной декомпозицииModeling and nonlinear analysis of chaotic wave processes in electrochemically active neuronal media based on matrix decompositionКротА. М.KrotA. M.

Крот Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией моделирования самоорганизующихся систем

Минск

Alexander M. Krot, Dr. Sci. (Eng.), Professor, Head of the  Laboratory  of  Self-Organization  Systems Modeling

Minsk

alxkrot@newman.bas-net.byПавловС. И.PavlovS. I.

Павлов Станислав Игоревич, инженер-программист

Минск

Stanislav  I.  Pavlov,  Software  Engineer

Minsk

staspavlov008@gmail.comОбъединенный институт проблем информатики Национальной академии наук БеларусиThe United Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus202011062020173724Copyright © Крот А.М., Павлов С.И., 20202020Крот А.М., Павлов С.И.Krot A.M., Pavlov S.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1064

Разработана общая модель возникновения и эволюции хаотических волновых процессов в электрохимически  активных  нейроновых  средах  на  основе  предложенного  метода  матричной  декомпозиции операторов нелинейных систем. Рассмотрены математические модели  Ходжкина –  Хаксли и ФитцХью – Нагумо электрохимически активной нейроновой среды. Определены необходимые условия самоорганизации хаотических автоколебаний в модели ФитцХью – Нагумо. Компьютерное моделирование на основе матричной декомпозиции хаотических волновых процессов в электрохимически активных нейроновых средах  показало  взаимодействие нелинейных процессов высших  порядков, приводящее к стабилизации (конечной величине) амплитуды хаотического волнового процесса. Математически это выражается  в  синхронном  «противодействии» нелинейных  процессов  четных  и  нечетных  порядков в общей векторно-матричной модели электрохимически активной нейроновой среды, находящейся в хаотическом режиме. Отмечено, что режим жесткого самовозбуждения нелинейных колебаний в электрохимически активной нейроновой среде приводит к появлению хаотического аттрактора в пространстве состояний. Вместе с тем предложенная векторно-матричная модель позволила найти более общие условия возникновения и эволюции хаотических волновых процессов по сравнению с моделью начальной турбулентности Ландау и, как следствие, объяснить возникновение согласованных нелинейных явлений в электрохимически активной нейроновой среде.

A general model of the origin and evolution of chaotic wave processes in electrochemically active neuronal media based on the proposed method of matrix decomposition of operators of nonlinear systems has been developed. The mathematical models of Hodgkin – Huxley and FitzHugh – Nagumo of an electrochemically active neuronal media are considered. The necessary conditions for self-organization of chaotic self-oscillations in the FitzHugh – Nagumo model are determined. Computer modeling based on the matrix decomposition of chaotic wave processes in electrochemically active neuronal media has shown the interaction of higher-order nonlinear processes leading to stabilization (to a finite value) of the amplitude of the chaotic wave process. Mathematically, this is expressed in the synchronous “counteraction” of nonlinear processes of even and odd orders in the general vector-matrix model of an electrochemically active neuronal media being in a chaotic mode. It is noted that the state of hard self-excitation of nonlinear oscillations in an electrochemically active neuronal media leads to the appearance of a chaotic attractor in the state space. At the same time, the  proposed vector-matrix model made it possible to find more general conditions for the appearance and evolution of chaotic wave  processes in  comparison with  the  initial  Landau  turbulence model  and,  as  a  result,  to  explain  the occurrence of consistent nonlinear phenomena in an electrochemically active neuronal media.

электрохимически активная нейроновая средамодель ФитцХью – Нагумонеобходимые условия самоорганизации автоколебанийхаотический аттракторматричный ряд в пространстве состоянийвекторно-матричная модель хаотических волновых процессоврежим жесткого самовозбуждения нелинейных колебанийстабилизация амплитуды хаотического процессаelectrochemically active neuronal mediaFitzHugh – Nagumo modelnecessary conditions for self-organization of self-oscillationschaotic attractormatrix series in state-spacevector-matrix model of chaotic wave processesmode of hard self-excitation of nonlinear oscillationsstabilization of the amplitude of chaotic processReferencesИваницкий, Г. Р. Автоволновые процессы: общие закономерности биологических, химических и физических активных сред / Г. Р. Иваницкий, В. И. Кринский // I Всесоюз. биофизический съезд. Секция 20. – Пущино : НЦБИ, 1982. – 28 с.Ivanitsky G. R., Krinsky V. I. Avtovolnovye processy: obshhie zakonomernosti biologicheskih, himicheskih i fizicheskih aktivnyh sred [Autowave processes: general laws of biological, chemical and physical active media]. I Vsesojuznyj biofizicheskij s"ezd. Sekcija 20 [1st USSR Biophysical Congress. Section 20]. Pushchino, Nauchnyj centr biologicheskih issledovanij, 1982, 28 p. (in Russian).Васильев, В. А. Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. – М. : Наука, 1987. – 240 с.Vasiliev V. A., Romanovsky Yu. M., Yakhno V. G. Avtovolnovye processy. Autowave Processes. Moscow, Nauka, 1987, 240 p. (in Russian).Ландау, Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау // Доклады АН СССР. – 1944. – Т. 44, № 8. –C. 339–342.Landau L. D. K probleme turbulentnosti [To the problem of turbulence]. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the Academy of Sciences of USSR], 1944, vol. 44, no. 8, pp. 339–342 (in Russian).Крот, А. М. О классе дискретных квазистационарных линейных динамических систем / А. М. Крот // Доклады АН СССР. – 1990. – Т. 313, № 6. – С. 1376–1380.Krot A. M. O klasse diskretnyh kvazistacionarnyh linejnyh dinamicheskih sistem [On a class of discrete quasistationary linear dynamic systems]. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the Academy of Sciences of USSR], 1990, vol. 313, no. 6, pp. 1376–1380 (in Russian).Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow / E. N. Lorenz // J. of Atmospheric Sciences. – 1963. –Vol. 20, March. – P. 130–141.Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow. Journal of Atmospheric Sciences, 1963, vol. 20, March, pp. 130–141.Ruelle, D. On the nature of turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Communications in Mathematical Physics. –1971. – Vol. 20. – P. 167–192.Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics, 1971, vol. 20, pp. 167–192.Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Г. Николис, И. Пригожин. – М. : Мир, 1979. – 512 с.Nicolis G., Prigogine I. Self-organization in Nonequilibrium Systems: from Dissipative Structures to Order through Fluctuation. New York, John Willey&Sons, 1977, 512 р.Хакен, Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах /Г. Хакен. – М. : Мир, 1985. – 423 с.Haken H. Advanced Synergetics: Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1983, 356 р.Берже, П. Порядок в хаосе: о детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. – М. : Мир, 1991. – 368 c.Bergé P., Pomeau Y., Vidal C. L’ordre Dans le Chaos: Vers une Approche Déterministe de la Turbulence. Paris, Hermann, 1988.Крот, А. М. Эволюционная модель хаотических волновых процессов в сложных динамических системах на основе теории матричной декомпозиции / А. М. Крот // Доп. Нац. акад. наук Украiни. – 2019. –№ 9. – С. 12–19. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.012Krot A. M. Jevoljucionnaja model' haoticheskih volnovyh processov v slozhnyh dinamicheskih sistemah na osnove teorii matrichnoj dekompozicii [An evolutionary model of chaotic wave processes in complex dynamical systems based on the matrix decomposition theory]. Dopovіdі Nacіonal'noї akademії nauk Ukraїni [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine], 2019, no. 9, pp. 12–19 (in Russian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.012Скотт, Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Э. Скотт. – М. : Сов. радио, 1977. – 368 с.Scott A. Active and Nonlinear Wave Propagation in Electronics. New York, London, etc., John Willey&Sons, 1970, 326 р.Hodgkin, A. L. A quantitative description of ion currents and its applications to conduction and excitation in nerve membranes / A. L. Hodgkin, A. F. Huxley // J. of Physiology. – 1952. – Vol. 117. – P. 500–544.Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of ion currents and its applications to conduction and excitation in nerve membranes. The Journal of Physiology, 1952, vol. 117, pp. 500–544.Fuortes, M. G. F. Interpretation of the repetitive firing of nerve cells / M. G. F. Fuortes, F. Mantegazzini // J. of General Physiology. – 1962. – Vol. 45. – P. 1163–1179.Fuortes M. G. F., Mantegazzini F. Interpretation of the repetitive firing of nerve cells. The Journal of General Physiology, 1962, vol. 45, pp. 1163–1179.Koch, C. Do neurons have a voltage or a current threshold for action potential initiation? / C. Koch, O. Bernarder, R. J. Douglas // J. of Computational Neuroscience. – 1995. – No. 2. – P. 63–82.Koch C., Bernarder O., Douglas R. J. Do neurons have a voltage or a current threshold for action potential initiation? Journal of Computational Neuroscience, 1995, no. 2, pp. 63–82.Nandapurcar, P. J. Dynamically stability of untwised scroll rings in excitable media / P. J. Nandapurcar, A. T. Winfree // Physica D. – 1989. – Vol. 35, no. 3. – P. 277–288.Nandapurcar P. J., Winfree A. T. Dynamically stability of untwised scroll rings in excitable media. Physica D, 1989, vol. 35, no. 3, pp. 277–288.Courtemanche, M. Stable tree-dimensional action potential calculation in the FitzHugh – Nagumo model / M. Courtemanche, W. Scaggs, A. T. Winfree // Physica D. – 1990. – Vol. 41, no. 1. – P. 173–182.Courtemanche M., Scaggs W., Winfree A. T. Stable tree-dimensional action potential calculation in the FitzHugh – Nagumo model. Physica D, 1990, vol. 41, no. 1, pp. 173–182.FitzHugh, R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane / R. FitzHugh // Biophysical J. – 1961. – Vol. 1. – P. 445–446.FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. BiophysicalJournal, 1961, vol. 1, pp. 445–446.Nagumo, J. S. An active pulse transmission line simulating nerve axon / J. S. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshisawa // Proc. of the IRE. – 1962. – Vol. 50. – P. 2061–2070.Nagumo J. S., Arimoto S., Yoshisawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon.Proceedings of the IRE, 1962, vol. 50, pp. 2061–2070.Paydarfar, D. Dysrhythmias of the respiratory oscillator / D. Paydarfar, D. M. Buerkel // Chaos. – 1995. – Vol. 5, no. 1. – P. 18–29.Paydarfar D., Buerkel D. M. Dysrhythmias of the respiratory oscillator. Chaos, 1995, vol. 5, no. 1, pp. 18–29.Дайлюденко, В. Ф. Моделирование процессов самоорганизации в активных средах / В. Ф. Дайлюденко, А. М. Крот // Интеллектуальные системы : сб. науч. тр. – Минск : Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1998. – Вып. 1. – С. 32–45.Dailudenko V. F., Krot A. M. Modelirovanie processov samoorganizacii v aktivnyh sredah [Modeling of processes of self-organization in active media]. Intellektual'nye sistemy [Intelligent systems], Minsk, Institute of Technical Cybernetics of the National Academy of Sciences of Belarus, 1998, vol. 1, pp. 32–45 (in Russian).Krot, A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system / A. M. Krot // EUSIPCO–2000 : Proc. X European Signal Processing Conf., Tampere, Finland, 4–8 Sept. 2000. – Tampere, 2000. – Vol. 3. – P. 2453–2456.Krot A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system. EUSIPCO-2000: Proceedings X European Signal Processing Conference, Tampere, Finland, 4–8 September 2000. Tampere, 2000, vol. 3, pp. 2453–2456.Krot, A. M. Matrix decompositions of vector functions and shift operators on the trajectories of a nonlinear dynamical system / A. M. Krot // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2001. – Vol. 4, no. 2. – P. 106–115.Krot A. M. Matrix decompositions of vector functions and shift operators on the trajectories of a nonlinear dynamical system. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2001, vol. 4, no. 2, pp. 106–115.Крот, А. М. Анализ аттракторов сложных нелинейных динамических систем на основе матричных рядов в пространстве состояний / А. М. Крот // Информатика. – 2004. – № 1(1). – С. 7–16.Krot A. M. Analiz attraktorov slozhnyh nelinejnyh dinamicheskih sistem na osnove matrichnyh rjadov v prostranstve sostojanij [Analysis of attractors of complex nonlinear dynamical systems based on matrix series in the state-space]. Informatica [Informatics], 2004, vol. 1, no. 1, pp. 7–16 (in Russian).Krot, A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals / A. M. Krot // DSP–2009 : Proc. 16th IEEE Intern. Conf. on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, 5–7 July 2009. – Santorini, 2009. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Krot A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals. DSP-2009: Proceedings 16th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, 5–7 July 2009. Santorini, 2009, pp. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Krot, A. M. Bifurcation analysis of attractors of complex systems based on matrix decomposition theory / A. M. Krot // IEM 2011 : Proc. of IEEE Intern. Conf. on Industrial Engineering and Management, Zhengzhou, China, 12–14 Aug. 2011. – Zhengzhou, 2011. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icmss.2011.5999350Krot A. M. Bifurcation analysis of attractors of complex systems based on matrix decomposition theory. IEM 2011: Proceedings of IEEE International Conference on Industrial Engineering and Management, Zhengzhou, China, 12–14 August 2011. Zhengzhou, 2011, pp. 1–5. https://doi.org/10.1109/icmss.2011.5999350Крот, А. М. Анализ хаотических режимов функционирования схемы Чжуа с гладкой нелинейностью на основе метода матричной декомпозиции / А. М. Крот, В. А. Сычев // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2018. – Т. 63, № 4. – С. 501–512. https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512Krot A. M., Sychou U. A. Analiz haoticheskih rezhimov funkcionirovanija shemy Chzhua s gladkoj nelinejnost'ju na osnove metoda matrichnoj dekompozicii [The analysis of chaotic regimes in Chua’s circuit with smooth nonlinearity based on the matrix decomposition method]. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fizika-technichnykh navuk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physicaltechnical Series], 2018, vol. 63, no. 4, pp. 501–512 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учеб. пособие для студентов физ. специальностей ун-тов : в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; под ред. Л. П. Питаевского. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1986. – Т. 6 : Гидродинамика. – 736 с.Landau L. D., Lifschitz E. M. Fluid Mechanics. Oxford, Pergamon, 1959, vol. 6, 539 p.Ерофеенко, В. Т. Основы математического моделирования : курс лекций / В. Т. Ерофеенко, И. С. Козловская. – Минск : БГУ, 2002. – 195 с.Erofeenko V. T., Kozlovskaya I. S. Fundamentals of Mathematical Modeling. Minsk, Belarusian State University, 2002, 195 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.