informИнформатикаInformatics1816-03012617-6963UIIP NASB10.37661/1816-0301-2020-17-1-39-46inform-1062Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGЛокальные преобразования с сингулярным вейвлетомLocal transformations with a singular waveletРоманчакВ. М.RomanchakV. M.

Романчак Василий Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной математики

Vasily M. Romanchak, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor of the Department of Engineering Mathematics

Romanchak@bntu.byБелорусский национальный технический университетBelarusian National Technical University2020280320201713946Copyright © Романчак В.М., 20202020Романчак В.М.Romanchak V.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://inf.grid.by/jour/article/view/1062

Рассматривается локальное вейвлет-преобразование c сингулярным базисным вейвлетом. С помощью последовательности локальных вейвлет-преобразований решается задача непараметрической аппроксимации функции. Традиционно считается, что вейвлет должен иметь среднее значение, равное нулю. Ранее автором рассматривались сингулярные вейвлеты, для которых среднее значение не равно нулю. Например, в качестве вейвлета использовались дельтообразные функции, которые участвуют в оценках Парзена – Розенблатта и Надарая – Ватсона. Для сингулярных вейвлетов была построена последовательность вейвлет-преобразований для всей числовой оси и конечного интервала. В работе предлагается последовательность локальных вейвлет-преобразований, дается определение локального вейвлет-преобразования и доказываются теоремы, которые формулируют его свойства. Для подтверждения эффективности алгоритма приводится пример аппроксимации функции с помощью суммы дискретных локальных вейвлет-преобразований.

The paper considers a local wavelet transform with a singular basis wavelet. The problem of nonparametric approximation of a function is solved by the use of the  sequence of local wavelet transforms. Traditionally believed that the wavelet should have an average equal to zero. Earlier, the author considered  singular wavelets when the average value is not equal to zero. As an example, the delta-shaped functions, participated in the estimates of Parzen – Rosenblatt and Nadara – Watson, were used as a wavelet. Previously,  a sequence of wavelet transforms for the entire numerical axis and finite interval was constructed for singular wavelets. 

The paper proposes a sequence of local wavelet transforms, a local wavelet transform is defined, the theorems that formulate the properties of a local wavelet transform are proved. To confirm the effectiveness of the algorithm an example of approximating the function by use of  the sum of discrete local wavelet transforms is given. 

вейвлет-преобразованиесингулярный вейвлетокно Парзена − Розенблаттанепараметрическая аппроксимацияядерная оценка Надарая – Ватсонаwavelet transformsingular waveletsthe Parzen – Rosenblatt window methodnonparametric estimatorNadaraya − Watson kernel regressionReferencesХардле, В. Прикладная непараметрическая регрессия : пер. с англ. / В. Хардле. − М. : Мир, 1993. – 349 с.Härdle W. Applied Nonparametric Regression. Cambridge, Cambridge University Press, 1992, 434 p.Parzen, E. On estimation of a probability density function and mode / E. Parzen // The Annals of Mathematical Statistics. – 1962. – Vol. 33, no. 3. – P. 1065−1076.Parzen E. On estimation of a probability density function and mode. The Annals of Mathematical Statistics, 1962, vol. 33, no. 3, рр. 1065−1076.Watson, G. S. Smooth regression analysis / G. S. Watson // Sankhya: The Indian Journal of Statistics, Ser. A. −1964. − Vol. 26. − P. 359–372.Watson G. S. Smooth regression analysis. Sankhya: The Indian Journal of Statistics, Ser. A, 1964, vol. 26, pp. 359–372.Надарая, Э. А. Об оценке регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятностей и ее применение. − 1964. − Т. 9, № 1. − C. 157–159.Nadaraya E. A. Ob ocenke regressii [About a regression assessment]. Teorija verojatnostej i ee primenenie [Probability Theory and Its Application], 1964, vol. 9, no. 1, pp. 157–159 (in Russian).Чуи, К. Введение в вейвлеты : пер. с англ. / К. Чуи. − М. : Мир, 2001. – 412 с.Chui C. An Introduction to Wavelets. San Diego, Academic Press, 1992, 266 р.Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам : пер. с англ. / И. Добеши. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. − 464 с.Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, 377 р.Серенков, П. С. Система сбора данных о качестве как техническая основа функционирования эффективных систем менеджмента качества / П. С. Серенков, В. М. Романчак, В. Л. Соломахо // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2006. – Т. 50, № 4. – С. 100–104.Serenkov P. S., Rоmanchak V. M., Solomakho V. L. Sistema sbora dannyh o kachestve kak tehnicheskaja osnova funkcionirovanija jeffektivnyh sistem menedzhmenta kachestva [System of collection of data on quality as technical basis of functioning of effective systems of quality management]. Doklady Nacional'noj akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2006, vol. 50, no. 4, pp. 100−104 (in Russian).Романчак, В. М. Аппроксимация экспертных оценок сингулярными вейвлетами / В. М. Романчак, П. М. Лаппо // Вестник Гродненского гос. ун-та. Сер. 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление.  2017. – Т. 7, № 1. − С. 132−139.Rоmanchak V. M., Lappo P. M. Approksimacija jekspertnyh ocenok singuljarnymi vejvletami [Approximation of expert estimates by singular wavelets]. Vestnik Grodnenskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. 2. Matematika. Fizika. Informatika, vychislitel'naja tehnika i upravlenie [Bulletin of the Grodno State University. Series 2: Mathematics. Physics. Informatics, Computer Science and Management], 2017, vol. 7, no. 1, pp. 132−139 (in Russian).Романчак, В. М. Аппроксимация сингулярными вейвлетами / В. М. Романчак // Системный анализ и прикладная информатика. - 2018. - № 2. − С. 23–28.Rоmanchak V. M. Approksimacija singuljarnymi vejvletami [Approximation by singular wavelets]. Sistemnyj analiz i prikladnaja informatika [Systems Analysis and Applied Informatics], 2018, no. 2, pp. 23–28 (in Russian).Романчак, В. М. Сингулярные вейвлеты на конечном интервале / В. М. Романчак // Информатика. – 2018.  Т. 15, № 4. − С. 39–49.Rоmanchak V. M. Singuljarnye vejvlety na konechnom intervale [Singular wavelets on a finite interval]. Informatika [Informatics], 2018, vol. 15, no. 4, pp. 39−49 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.